A chegada do ônibus "Campos Linha 2"no Terminal Praia Grande, acontece na taxa de 2 pur 20 minutos. Supondo que tenha uma distribuição de Poisson, calcule:
(a) ( 1,0 ponto) A probabilidade de chegarem exatamente 3 Campos Linha 2 em 30 minutos.
(b) ( 2,0 pontos) Considerando que uma vez dentro do ônibus, o percurso da Paria Grande ao prédio do BICT na Ufma dura 20 minutos. Cheguei ao terminal às 18: 00. e havia acabado de sair um Campus Linha 2, qual a probabilidade que eu tenho para chagar atracado à sula de 18: 30 ?

Passo 1

O enunciado diz que as chegadas do ônibus “Campos Linha 2” formam um processo de Poisson com taxa de 2 ônibus a cada 20 minutos. Em outras palavras, a taxa por minuto é
\lambda = \frac{2}{20} = 0,1\\ (\text{ônibus/min}).ô
Para a parte (a) vamos usar a distribuição de Poisson para o número de chegadas em 30 minutos; para a parte (b) vamos usar a distribuição exponencial (propriedade de ausência de memória) para o tempo até a próxima chegada.

Passo 2

(a) Em t=30 minutos, o número de chegadas N(30) é Poisson com parâmetro
\mu = \lambda\,t = 0,1 \times 30 = 3.
Logo,
P\bigl(N(30)=3\bigr) = e^{-\mu}\,\frac{\mu^3}{3!} = e^{-3}\,\frac{3^3}{6}.

Passo 3

Calculando numericamente,
e^{-3}\,\frac{3^3}{6} = e^{-3}\,\frac{27}{6} = \frac{27}{6}\,e^{-3} \approx 0,224.

Passo 4

(b) Cheguei às 18:00 e acabou de sair um ônibus, então o tempo até o próximo é exponencial com parâmetro \lambda=0,1. Para chegar ao destino às 18:30, eu preciso embarcar até às 18:10, ou seja, o tempo de espera T deve ser \le10 min:
P(T\le10) = 1 - e^{-\lambda \cdot 10} = 1 - e^{-0,1\times10} = 1 - e^{-1}.

Passo 5

Numericamente,
1 - e^{-1} \approx 1 - 0,3679 = 0,632.

Resposta

(a) P(N(30)=3)=e^{-3}\,\dfrac{3^3}{3!}\approx0,224.
(b) P(\text{embarcar a tempo})=1-e^{-1}\approx0,632.

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