(Cargas pontuais)
(a) Calcule o potencial elétrico no ponto P devido a uma carga Q.
(b) Generalize para um sistema de duas cargas fixas Q_{1} e Q_{2}.
(c) Mostre que os potenciais se somam escalarmente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o potencial elétrico no ponto P devido a cargas pontuais. O conteúdo principal é a definição de potencial elétrico como trabalho por unidade de carga de teste e o princípio da superposição. Vamos precisar da expressão da força de Coulomb e da relação
V(P)=\frac{W_{\infty\to P}}{q_{\text{teste}}}\,.

Passo 2

Para uma única carga pontual Q e uma carga de teste q colocada no ponto P a uma distância r de Q, a força de Coulomb é central e vale
\mathbf{F}(r')=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,q}{r'^2}\,\hat r'\,,
onde r' varia de \infty até r. O trabalho para trazer q de \infty até P é
W_{\infty\to P}=-\int_{\infty}^{r}\mathbf{F}(r')\cdot d\mathbf{r}' =-\int_{\infty}^{r}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,q}{r'^2}dr' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,q}{r}\,.
Dividindo por q obtemos o potencial em P:
V(P)=\frac{W_{\infty\to P}}{q} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}\,.

Passo 3

Se há duas cargas fixas Q_{1} e Q_{2}, cada uma gera um potencial no ponto P localizado a distâncias r_{1} e r_{2}, respectivamente. Pelo princípio da superposição de campos elétricos, o potencial total é a soma das contribuições individuais:
V(P) =V_{1}(P)+V_{2}(P) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{1}}{r_{1}} +\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{2}}{r_{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{Q_{1}}{r_{1}}+\frac{Q_{2}}{r_{2}}\Bigr).

Passo 4

Para mostrar que os potenciais se somam escalarmente basta notar que o trabalho total para trazer uma carga de teste q desde o infinito até P na presença de várias cargas é a soma dos trabalhos individuais. Como
V_{\text{total}}=\frac{W_{\text{total}}}{q} =\frac{W_{1}+W_{2}+\cdots}{q} =V_{1}+V_{2}+\cdots,
vemos que cada potencial contribui de forma escalar e aditiva.

Resposta

(a) V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}.
(b) V(P)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{Q_{1}}{r_{1}}+\frac{Q_{2}}{r_{2}}\Bigr).
(c) Os potenciais se somam escalarmente devido à aditividade dos trabalhos de cada campo, ou seja,
V_{\text{total}}=\sum_i V_i.

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