Anel carregado - do zero ao limite
(a) Para um anel de raio R com carga Q uniforme, escreva d q=\lambda R d \varphi e relacione \lambda \operatorname{com} Q.
(b) Escreva a expressão para o campo elétrico d \vec{E} produzido por d q em um ponto sobre o eixo do anel (distância z do centro).
(c) Argumente por simetria quais componentes de d \vec{E} se cancelam e qual componente sobrevive.
(d) Monte a integral para o campo resultante E_{z}.
(e) Resolva a integral usando apenas o eixo z, e mostre que:
E_{z}(z)=k \frac{Q z}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} .
(f) Faça a expansão para z \gg R e mostre que E_{z} \approx k Q / z^{2}\left[1-\frac{3}{2}\left(R^{2} / z^{2}\right)+\cdots\right].
(g) Para R \gg z, mostre que E_{z} \approx\left(k Q / R^{3}\right) z (campo aproximadamente linear perto do centro).
(h) Verifique unidades/dimensões em cada expressão.

Passo 1

O enunciado pede para derivar o campo elétrico no eixo de um anel de raio R carregado com carga total Q distribuída uniformemente. O conteúdo envolve densidade de carga linear, lei de Coulomb para distribuição contínua e integrais em coordenada angular, além de expansões assintóticas para z\gg R e R\gg z.

Passo 2

(a) A densidade linear \lambda é a carga por comprimento do anel, logo
\lambda = \frac{Q}{2\pi R}.
Um elemento de carga ao longo do anel, girando de \varphi a \varphi+d\varphi, tem comprimento R\,d\varphi, de onde
dq = \lambda\,R\,d\varphi.

Passo 3

(b) Pelo enunciado, o ponto onde avaliamos o campo está no eixo do anel, a uma distância z do centro. Cada dq produz
d\vec E = k\,\frac{dq}{r^2}\,\hat r,
onde r = \sqrt{R^2+z^2}
é a distância de dq ao ponto, e \hat r é o versor nessa direção.

Passo 4

(c) Por simetria de rotação em torno do eixo z, as componentes transversais (no plano do anel) de todos os d\vec E se cancelam. Só sobrevive a componente ao longo de z, dada por
dE_z = dE\cos\theta,
com
\cos\theta = \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.

Passo 5

(d) Substituindo dq e \cos\theta em dE_z e integrando \varphi de 0 a 2\pi, temos
E_z \;=\;\int_{0}^{2\pi} k\,\frac{\lambda R\,d\varphi}{\bigl(R^2+z^2\bigr)}\;\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}} \;=\;k\lambda R\,\frac{z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}} \int_{0}^{2\pi}d\varphi.

Passo 6

(e) A integral em \varphi 2\pi, e como \lambda=Q/(2\pi R) obtemos
E_z(z) = k\;\frac{Q}{2\pi R}\;R\;\frac{z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}\;2\pi = k\,\frac{Q\,z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 7

(f) Para z\gg R, usamos o binomial
\bigl(R^2+z^2\bigr)^{-3/2} =z^{-3}\Bigl(1+\tfrac{R^2}{z^2}\Bigr)^{-3/2} \approx z^{-3}\Bigl[1-\tfrac{3}{2}\tfrac{R^2}{z^2}+\cdots\Bigr].
Logo
E_z\approx k\,Q\,z\;z^{-3}\Bigl[1-\tfrac{3}{2}\tfrac{R^2}{z^2}\Bigr] = \frac{kQ}{z^2}\Bigl[1-\tfrac{3}{2}\tfrac{R^2}{z^2}+\cdots\Bigr].

Passo 8

(g) Para R\gg z, analogamente
\bigl(R^2+z^2\bigr)^{-3/2} =R^{-3}\Bigl(1+\tfrac{z^2}{R^2}\Bigr)^{-3/2} \approx R^{-3}\Bigl[1-\tfrac{3}{2}\tfrac{z^2}{R^2}+\cdots\Bigr],
de onde
E_z\approx k\,Q\,z\,R^{-3} =\bigl(kQ/R^3\bigr)\,z,
isto é, campo linear em z perto do centro.

Passo 9

(h) Unidades/dimensões:
  • k tem dimensão [E][L^2]/[Q].
  • No resultado geral kQz/(R^2+z^2)^{3/2} a parte adimensional fica em \,z/(R^2+z^2)^{3/2}, sobrando [kQ]/[L^2]=[E].
  • Em kQ/z^2 e em (kQ/R^3)z também restam [E]. Portanto a checagem dimensional confere.

Resposta

(a) \displaystyle dq=\lambda R\,d\varphi com \lambda=Q/(2\pi R).
(b) \displaystyle d\vec E = k\,\frac{dq}{r^2}\,\hat r, r=\sqrt{R^2+z^2}.
(c) Cancelam-se as componentes radiais; sobrevive \displaystyle dE_z=dE\,\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
(d) \displaystyle E_z=\int_{0}^{2\pi}k\,\frac{\lambda R\,d\varphi}{(R^2+z^2)}\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}.
(e) \displaystyle E_z(z)=k\,\frac{Q\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}}.
(f) Para z\gg R: \displaystyle E_z\approx\frac{kQ}{z^2}\Bigl[1-\tfrac{3}{2}\tfrac{R^2}{z^2}+\cdots\Bigr].
(g) Para R\gg z: \displaystyle E_z\approx\frac{kQ}{R^3}\,z.
(h) Todas as expressões têm dimensão de campo elétrico [E], conforme checado.

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