Anel carregado - do zero ao limite
(a) Para um anel de raio
com carga
uniforme, escreva
e relacione
.
(b) Escreva a expressão para o campo elétrico
produzido por
em um ponto sobre o eixo do anel (distância
do centro).
(c) Argumente por simetria quais componentes de
se cancelam e qual componente sobrevive.
(d) Monte a integral para o campo resultante
.
(e) Resolva a integral usando apenas o eixo
, e mostre que:
(f) Faça a expansão para
e mostre que
.
(g) Para
, mostre que
(campo aproximadamente linear perto do centro).
(h) Verifique unidades/dimensões em cada expressão.
(a) Para um anel de raio
(b) Escreva a expressão para o campo elétrico
(c) Argumente por simetria quais componentes de
(d) Monte a integral para o campo resultante
(e) Resolva a integral usando apenas o eixo
(g) Para
(h) Verifique unidades/dimensões em cada expressão.
Passo 1
O enunciado pede para derivar o campo elétrico no eixo de um anel de raio
carregado com carga total
distribuída uniformemente. O conteúdo envolve densidade de carga linear, lei de Coulomb para distribuição contínua e integrais em coordenada angular, além de expansões assintóticas para
e
.
Passo 2
(a) A densidade linear
é a carga por comprimento do anel, logo
Um elemento de carga ao longo do anel, girando de
a
, tem comprimento
, de onde
Passo 3
(b) Pelo enunciado, o ponto onde avaliamos o campo está no eixo do anel, a uma distância
do centro. Cada
produz
onde
é a distância de ao ponto, e
é o versor nessa direção.
é a distância de
Passo 4
(c) Por simetria de rotação em torno do eixo
, as componentes transversais (no plano do anel) de todos os
se cancelam. Só sobrevive a componente ao longo de
, dada por
com
Passo 5
(d) Substituindo
e
em
e integrando
de
a
, temos
Passo 6
(e) A integral em
dá
, e como
obtemos
Passo 7
(f) Para
, usamos o binomial
Logo
Passo 8
(g) Para
, analogamente
de onde
isto é, campo linear em
perto do centro.
Passo 9
(h) Unidades/dimensões:
-
tem dimensão . - No resultado geral
a parte adimensional fica em , sobrando . - Em
e em também restam . Portanto a checagem dimensional confere.
Resposta
(a)
com
.
(b) ,
.
(c) Cancelam-se as componentes radiais; sobrevive .
(d) .
(e) .
(f) Para :
(g) Para :
(h) Todas as expressões têm dimensão de campo elétrico , conforme checado.
(b)
(c) Cancelam-se as componentes radiais; sobrevive
(d)
(e)
(f) Para
(g) Para
(h) Todas as expressões têm dimensão de campo elétrico