(Obrigatória) Uma pessoa tem, aproximadamente, 200 fios de cabelo por \mathrm{cm}^{2}. Determine quantos fios de cabelo um homem tem em seu bigode supondo que seja aproximadamente semicircular sobre a boca e com espessura de 1 \mathrm{~cm}^{2}. Determine a ordem de grandeza da quantidade de fios de cabelo.

Passo 1

O enunciado diz que há cerca de 200 fios de cabelo por centímetro quadrado. O bigode é modelado como uma “banda” em forma de semicírculo sobre a boca, com espessura radial de 1 cm. Para estimar quantos fios há no bigode, precisamos:
  1. escolher um valor típico para a largura da boca (que será o diâmetro do semicírculo);
  2. calcular a área dessa banda semicircular;
  3. multiplicar pela densidade de 200 fios/c m^{2}.

Passo 2

Vamos tomar como largura típica da boca cerca de 6 cm. Assim o raio do semicírculo é
R = \frac{6\\ \text{cm}}{2} = 3\\ \text{cm}.

Passo 3

O comprimento de arco de um semicírculo de raio R é
L = \pi R.
Como a banda tem espessura radial t = 1 cm, sua área aproximada é
A = L \times t = \pi R \cdot 1 = \pi R.

Passo 4

Substituindo R = 3 cm em
A = \pi R
temos
A = \pi \times 3\\ \text{cm} \approx 3\pi\\ \text{cm}^2 \approx 9{,}4\\ \text{cm}^2.

Passo 5

O número de fios no bigode é
N = (\text{densidade}) \times A = 200\\ \frac{\text{fios}}{\text{cm}^2} \times 9{,}4\\ \text{cm}^2 \approx 1880\\ \text{fios}.

Passo 6

Para a ordem de grandeza, 1880 está mais próximo de
10^3 = 1000
do que de 10^4.

Resposta

O bigode tem aproximadamente 2\times10^3 fios, de ordem de grandeza 10^3.

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