Elementos diferenciais e ângulo sólido
(a) Em coordenadas esféricas, mostre que o elemento de área sobre uma esfera de raio R é
d A=R^{2} \sin \theta d \theta d \varphi .
(b) Defina o ângulo sólido diferencial d \Omega e prove que d A=R^{2} d \Omega.
(c) Integre d A na esfera e recupere a área 4 \pi R^{2}.
(d) Para densidade superficial uniforme \sigma em uma casca esférica: escreva d q e mostre Q=4 \pi R^{2} \sigma.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas envolvendo uma casca esférica de raio R:
(a) obter o elemento de área superficial em coordenadas esféricas,
(b) definir o ângulo sólido diferencial d\Omega e relacioná-lo com dA,
(c) integrar dA sobre toda a esfera e mostrar que a área é 4\pi R^2,
(d) usar densidade superficial uniforme \sigma para encontrar a carga total Q.
Para isso vamos parametrizar a esfera em função de \theta (ângulo polar) e \varphi (ângulo azimutal), calcular o jacobiano da parametrização, definir o ângulo sólido e fazer integrais.

Passo 2

Parametrizamos a esfera por
\mathbf r(\theta,\varphi)=\bigl(R\sin\theta\cos\varphi,\;R\sin\theta\sin\varphi,\;R\cos\theta\bigr),
com \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,2\pi]. Então
\frac{\partial\mathbf r}{\partial\theta} =\bigl(R\cos\theta\cos\varphi,\;R\cos\theta\sin\varphi,\;-R\sin\theta\bigr), \quad \frac{\partial\mathbf r}{\partial\varphi} =\bigl(-R\sin\theta\sin\varphi,\;R\sin\theta\cos\varphi,\;0\bigr).
O elemento de área é dado por \bigl\lvert\partial_{\theta}\mathbf r\times\partial_{\varphi}\mathbf r\bigr\rvert\,d\theta\,d\varphi. Calculando o produto vetorial obtém-se
\bigl\lvert\partial_{\theta}\mathbf r\times\partial_{\varphi}\mathbf r\bigr\rvert =R^{2}\sin\theta,
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dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 3

Definimos o ângulo sólido diferencial como
d\Omega\;\equiv\;\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Comparando com o elemento de área, vemos imediatamente que
dA=R^{2}\,d\Omega.

Passo 4

Para recuperar a área total da esfera, integramos dA em \theta de 0 a \pi e em \varphi de 0 a 2\pi:
\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\pi}R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =R^{2}\biggl(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\biggr)\biggl(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\biggr) =R^{2}\,(2\pi)\,(2) =4\pi R^{2}.

Passo 5

Se a casca tem densidade superficial uniforme \sigma, então a carga elementar é
dq=\sigma\,dA=\sigma\,R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Integrando sobre toda a superfície,
Q=\int dq =\sigma\int dA =\sigma\,(4\pi R^{2}) =4\pi R^{2}\,\sigma.

Resposta

(a) dA=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
(b) d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e dA=R^{2}d\Omega.
(c) \displaystyle\int dA=4\pi R^{2}.
(d) dq=\sigma\,dA e Q=4\pi R^{2}\sigma.

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