Elementos diferenciais e ângulo sólido
(a) Em coordenadas esféricas, mostre que o elemento de área sobre uma esfera de raio R é
d A=R^{2} \sin \theta d \theta d \varphi .
(b) Defina o ângulo sólido diferencial d \Omega e prove que d A=R^{2} d \Omega.
(c) Integre d A na esfera e recupere a área 4 \pi R^{2}.
(d) Para densidade superficial uniforme \sigma em uma casca esférica: escreva d q e mostre Q=4 \pi R^{2} \sigma.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas envolvendo uma casca esférica de raio R:
(a) obter o elemento de área superficial em coordenadas esféricas,
(b) definir o ângulo sólido diferencial d\Omega e relacioná-lo com dA,
(c) integrar dA sobre toda a esfera e mostrar que a área é 4\pi R^2,
(d) usar densidade superficial uniforme \sigma para encontrar a carga total Q.
Para isso vamos parametrizar a esfera em função de \theta (ângulo polar) e \varphi (ângulo azimutal), calcular o jacobiano da parametrização, definir o ângulo sólido e fazer integrais.
O elemento de área é dado por \bigl\lvert\partial_{\theta}\mathbf r\times\partial_{\varphi}\mathbf r\bigr\rvert\,d\theta\,d\varphi. Calculando o produto vetorial obtém-se