Do anel ao disco - integral em anéis
(a) Modele um disco de raio R como soma de anéis de raio r e espessura d r. Mostre que d q=\sigma(2 \pi r d r).
(b) Usando as informações encontradas anteriormente, encontre a seguinte integral do campo sobre o eixo:
E_{z}(z)=\int_{0}^{R} k \frac{z \sigma 2 \pi r d r}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} .
(c) Resolva a integral, explicitando as etapas e obtenha:
E_{z}(z)=2 \pi k \sigma\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right) .
(d) Limite z \gg R : mostre que E_{z} \approx k\left(\sigma \pi R^{2}\right) / z^{2}=k Q / z^{2}.
(e) Limite R \gg z \geq 0 : mostre que E_{z}\left(0^{+}\right)=2 \pi k \sigma=\sigma /\left(2 \varepsilon_{0}\right) (folha quase infinita).
(f) Explique a descontinuidade E_{z}\left(0^{+}\right)-E_{z}\left(0^{-}\right)=\sigma / \varepsilon_{0} interpretando a simetria entre os dois lados do plano.

Passo 1

O enunciado trata de calcular o campo elétrico no eixo de um disco de raio R e densidade de carga superficial uniforme \sigma, usando a ideia de decompor o disco em anéis concêntricos. O conteúdo é eletrostática e integração em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar de:
  1. Modelar um anel de raio r e espessura dr.
  2. Usar a expressão do campo no eixo de um anel carregado.
  3. Integrar de r=0 até r=R.
  4. Fazer limites z\gg R e R\gg z.

Passo 2

Cada anel de raio r e espessura dr tem área
dA = (\text{circunferência})\times dr = (2\pi r)\,dr.ê
Como a densidade superficial é \sigma, a carga no anel é
dq = \sigma\,dA = \sigma\,(2\pi r\,dr).

Passo 3

O contributo de campo no ponto do eixo, a uma distância z do plano do anel, é
dE_z = k\,\frac{dq}{r^2+z^2}\,\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}} = k\,\frac{z\,dq}{(r^2+z^2)^{3/2}}.
Substituindo dq=\sigma\,2\pi r\,dr, obtemos o integral pedido:
E_z(z) = \int_{0}^{R} k\,\frac{z\,\sigma\,2\pi r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

Para resolver
E_z(z) =2\pi k\sigma\,z\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}},
fazemos a troca de variável u = r^2+z^2, logo du = 2r\,dr e r\,dr = \tfrac12\,du. Quando r=0, u=z^2; quando r=R, u=R^2+z^2.
Assim
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \int_{u=z^2}^{u=R^2+z^2}\frac{\tfrac12\,du}{u^{3/2}} = \frac12\bigl[-2u^{-1/2}\bigr]_{z^2}^{R^2+z^2} = \left[\frac{1}{\sqrt{z^2}}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\right].
Como \sqrt{z^2}=z, vem
E_z(z) =2\pi k\sigma\,z\Bigl(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr) =2\pi k\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr).

Passo 5

Para z\gg R, usamos \sqrt{z^2+R^2}\approx z\Bigl(1+\tfrac{R^2}{2z^2}\Bigr). Então
1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}} \approx 1-\frac{1}{1+\tfrac{R^2}{2z^2}} \approx \frac{R^2}{2z^2}.
Logo
E_z\approx 2\pi k\sigma\frac{R^2}{2z^2} =\frac{\pi k\sigma R^2}{z^2} = k\,\frac{\sigma\pi R^2}{z^2} = k\,\frac{Q}{z^2},
onde Q=\sigma\pi R^2.

Passo 6

Para R\gg z\ge0, temos \sqrt{z^2+R^2}\approx R. Em z\to0,
E_z(0^+)=2\pi k\sigma(1-0)=2\pi k\sigma =2\pi\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\sigma =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

Passo 7

Num plano infinito, o campo é simétrico nos dois lados e vale \sigma/(2\varepsilon_0) para cada lado. A diferença entre o campo acima e abaixo do plano é
E_z(0^+)-E_z(0^-) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}-\bigl(-\tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigr) =\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
o que coincide com a descontinuidade na componente normal do campo elétrico em uma superfície carregada.

Resposta

(a) dq=\sigma\,(2\pi r\,dr).
(b) \displaystyle E_z(z)=\int_{0}^{R}k\,\frac{z\,\sigma\,2\pi r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}}.
(c) \displaystyle E_z(z)=2\pi k\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Bigr).
(d) Para z\gg R: E_z\approx k\,Q/z^2.
(e) Para R\gg z\ge0: E_z(0^+)=\sigma/(2\varepsilon_0).
(f) A descontinuidade \displaystyle E_z(0^+)-E_z(0^-)=\sigma/\varepsilon_0
vem da soma dos dois campos iguais e opostos gerados pelo plano infinito.

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