Do anel ao disco - integral em anéis
(a) Modele um disco de raio
como soma de anéis de raio
e espessura
. Mostre que
.
(b) Usando as informações encontradas anteriormente, encontre a seguinte integral do campo sobre o eixo:
(c) Resolva a integral, explicitando as etapas e obtenha:
(d) Limite
: mostre que
.
(e) Limite
: mostre que
(folha quase infinita).
(f) Explique a descontinuidade
interpretando a simetria entre os dois lados do plano.
(a) Modele um disco de raio
(b) Usando as informações encontradas anteriormente, encontre a seguinte integral do campo sobre o eixo:
(e) Limite
(f) Explique a descontinuidade
Passo 1
O enunciado trata de calcular o campo elétrico no eixo de um disco de raio
e densidade de carga superficial uniforme
, usando a ideia de decompor o disco em anéis concêntricos. O conteúdo é eletrostática e integração em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar de:
- Modelar um anel de raio
e espessura . - Usar a expressão do campo no eixo de um anel carregado.
- Integrar de
até . - Fazer limites
e .
Passo 2
Cada anel de raio
e espessura
tem área
Como a densidade superficial é
, a carga no anel é
Passo 3
O contributo de campo no ponto do eixo, a uma distância
do plano do anel, é
Substituindo
, obtemos o integral pedido:
Passo 4
Para resolver
fazemos a troca de variável
, logo
e
. Quando
,
; quando
,
.
Assim
Assim
Como
, vem
Passo 5
Para
, usamos
. Então
Logo
onde
.
Passo 6
Para
, temos
. Em
,
Passo 7
Num plano infinito, o campo é simétrico nos dois lados e vale
para cada lado. A diferença entre o campo acima e abaixo do plano é
o que coincide com a descontinuidade na componente normal do campo elétrico em uma superfície carregada.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) Para :
.
(e) Para :
.
(f) A descontinuidade
vem da soma dos dois campos iguais e opostos gerados pelo plano infinito.
(b)
(c)
(d) Para
(e) Para
(f) A descontinuidade
vem da soma dos dois campos iguais e opostos gerados pelo plano infinito.