Um pequeno imā de barra com momento magnético igual a 0,030 \mathrm{Am}^{2} é colocado no centro de uma bobina circular de raio igual a 5,00 \mathrm{~cm}, 12 voltas, conduzindo uma corrente 4,00 \mathrm{~A}. O momento magnético da bobina está no plano \mathrm{x}=0 \mathrm{e} faz um ângulo de 30^{\circ} com a direção +Z. Determine o torque exercido sobre ele.

Passo 1

O enunciado dá um ímã de barra com momento magnético \m_d = 0,030\\ \mathrm{A\,m^2} colocado no centro de uma bobina circular de raio R=5,00\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}, com N=12 voltas e corrente I=4,00\\ \mathrm{A}. O momento magnético da bobina, e portanto o campo magnético no seu centro, está num plano \mathrm{x}=0 e faz um ângulo de 30^\circ com a direção +Z. Precisamos calcular o torque \boldsymbol{\tau} que esse campo exerce sobre o dipolo magnético do ímã.

Passo 2

O campo magnético no centro de uma bobina circular de N voltas é dado por
B \;=\;\frac{\mu_0\,N\,I}{2\,R}\,,
onde \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}. Substituindo:
B = \frac{4\pi\times10^{-7}\times12\times4,00}{2\times0,05} = \frac{192\pi\times10^{-7}}{0,10} \approx 6,04\times10^{-4}\\ \mathrm{T}\,.

Passo 3

O torque num dipolo magnético \m_d imerso em campo uniforme \B vale
\tau = m_d\,B\,\sin\theta,
sendo \theta o ângulo entre \m_d e \B. Como o ímã está alinhado com o eixo +Z e o campo faz 30^\circ em relação a +Z, temos \theta=30^\circ.

Passo 4

Substituindo valores em
\tau = (0,030)\times(6,04\times10^{-4})\times\sin30^\circ
\tau = 0,030\times6,04\times10^{-4}\times0,5 \approx 9,06\times10^{-6}\\ \mathrm{N\cdot m}\,.

Resposta

O torque exercido sobre o ímã é aproximadamente
\tau \approx 9,06\times10^{-6}\\ \mathrm{N\cdot m}.

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