Um anel de cobre tem exatamente
de diâmetro à temperatura de
. Uma esfera de alumínio tem exatamente
de diâmetro à
. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilibrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilibrio térmico.
.
Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?
Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos um anel de cobre e uma esfera de alumínio com diâmetros e temperaturas iniciais diferentes. Quando colocamos a esfera sobre o anel, eles trocam calor até atingirem o equilíbrio térmico. Precisamos encontrar a razão entre a massa da esfera e a massa do anel. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação térmica e equilíbrio térmico envolvendo calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a temperatura de cada material muda até o equilíbrio térmico. Vamos chamar a temperatura final de equilíbrio de $ T $ (em °C).
O diâmetro de cada objeto muda de acordo com a dilatação linear, que é dada pela fórmula:
onde:
- $ D $ é o diâmetro final,
- $ D_0 $ é o diâmetro inicial,
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear,
- $ \Delta T = T - T_{inicial} $ é a variação de temperatura.
Passo 3
Para o anel de cobre:
Simplificando:
Para a esfera de alumínio:
Simplificando:
Passo 4
No equilíbrio, o diâmetro da esfera deve ser igual ao diâmetro do anel:
Substituindo as expressões:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar $ T $:
Calculando o termo constante:
Simplificando dentro do parênteses:
Distribuindo $ 1,00200 $:
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ T $:
Simplificando:
Então:
No entanto, isso não faz sentido fisicamente, indicando que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar.
Passo 7
Ao revisar, percebemos que o termo constante estava incorreto. Vamos recalcular corretamente:
Voltando à equação:
Calculando $ 1,00200 \times 0,9976 $:
E $ 1,00200 \times 24 \times 10^{-6} $:
Agora, a equação correta é:
Subtraindo 0,9991952 de ambos os lados:
Assim:
Passo 8
Agora que temos a temperatura de equilíbrio $ T \approx 11,415 ,^{\circ}C $, podemos calcular o calor trocado. O calor perdido pela esfera de alumínio será igual ao calor ganho pelo anel de cobre:
Substituindo os valores:
Calculando as diferenças de temperatura:
Passo 9
Isolando a razão $ \frac{m_{Al}}{m_{Cu}} $:
Calculando os produtos:
Resposta
A razão entre a massa da esfera de alumínio e a massa do anel de cobre é aproximadamente $ 0,0552 $. Ou seja, $ \frac{m_{Al}}{m_{Cu}} \approx 0,0552 $.