Um anel de cobre tem exatamente 1,00000 cm de diâmetro à temperatura de 0 ^circ C. Uma esfera de alumínio tem exatamente 1,00200 cm de diâmetro à 100^circ C. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilibrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilibrio térmico. alphaAl=24 times 10^-6 ^circ C^-1 ; alphaCu=1,7 times 10^-5 ^circ C^-1 ; cAl=0,91 J / gK ; cCu=0,39 J / gK.
Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos um anel de cobre e uma esfera de alumínio com diâmetros e temperaturas iniciais diferentes. Quando colocamos a esfera sobre o anel, eles trocam calor até atingirem o equilíbrio térmico. Precisamos encontrar a razão entre a massa da esfera e a massa do anel. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação térmica e equilíbrio térmico envolvendo calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura de cada material muda até o equilíbrio térmico. Vamos chamar a temperatura final de equilíbrio de $ T $ (em °C).
O diâmetro de cada objeto muda de acordo com a dilatação linear, que é dada pela fórmula:
T
onde:
  • $ D $ é o diâmetro final,
  • $ D_0 $ é o diâmetro inicial,
  • $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear,
  • $ \Delta T = T - T_{inicial} $ é a variação de temperatura.

Passo 3

Para o anel de cobre:
DCu = 1,00000 times (1 + 1,7 times 10^-5 times (T - 0))
Simplificando:
DCu = 1,00000 times (1 + 1,7 times 10^-5 T)
Para a esfera de alumínio:
DAl = 1,00200 times (1 + 24 times 10^-6 times (T - 100))
Simplificando:
DAl = 1,00200 times (1 + 24 times 10^-6 (T - 100))

Passo 4

No equilíbrio, o diâmetro da esfera deve ser igual ao diâmetro do anel:
DCu = DAl
Substituindo as expressões:
1,00000 times (1 + 1,7 times 10^-5 T) = 1,00200 times (1 + 24 times 10^-6 (T - 100))

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar $ T $:
T
Calculando o termo constante:
1 + 1,7 times 10^-5 T = 1,00200 times (1 + 24 times 10^-6 T - 24 times 10^-6 times 100)
Simplificando dentro do parênteses:
1 + 1,7 times 10^-5 T = 1,00200 times (1 + 24 times 10^-6 T - 0,0024)
Distribuindo $ 1,00200 $:
1 + 1,7 times 10^-5 T = 1,00200 times (0,9976 + 24 times 10^-6 T)
Calculando:
1,00200

Passo 6

Agora, vamos isolar $ T $:
T
Simplificando:
1 - 1,00000032 = 2,4048 times 10^-5 T - 1,7 times 10^-5 T
Então:
-0,00000032 = 0,00007048 T
No entanto, isso não faz sentido fisicamente, indicando que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar.

Passo 7

Ao revisar, percebemos que o termo constante estava incorreto. Vamos recalcular corretamente:
Voltando à equação:
1 + 1,7 times 10^-5 T = 1,00200 times 0,9976 + 1,00200 times 24 times 10^-6 T
Calculando $ 1,00200 \times 0,9976 $:
1,00200 times 0,9976
E $ 1,00200 \times 24 \times 10^{-6} $:
1,00200 times 0,9976 approx 0,9991952
Agora, a equação correta é:
1,00200 times 24 times 10^-6
Subtraindo 0,9991952 de ambos os lados:
1,00200 times 24 times 10^-6 approx 2,4048 times 10^-5
1 + 1,7 times 10^-5 T = 0,9991952 + 2,4048 times 10^-5 T
Assim:
0,0008048 = (2,4048 times 10^-5 - 1,7 times 10^-5) T

Passo 8

Agora que temos a temperatura de equilíbrio $ T \approx 11,415 ,^{\circ}C $, podemos calcular o calor trocado. O calor perdido pela esfera de alumínio será igual ao calor ganho pelo anel de cobre:
T approx 11,415 ,^circC
Substituindo os valores:
mAl cAl (Tinicial,Al - T) = mCu cCu (T - Tinicial,Cu)
Calculando as diferenças de temperatura:
mAl times 0,91 times (100 - 11,415) = mCu times 0,39 times (11,415 - 0)

Passo 9

Isolando a razão $ \frac{m_{Al}}{m_{Cu}} $:
mAlmCu
Calculando os produtos:
mAlmCu = 0,39 times 11,4150,91 times 88,585

Resposta

A razão entre a massa da esfera de alumínio e a massa do anel de cobre é aproximadamente $ 0,0552 $. Ou seja, $ \frac{m_{Al}}{m_{Cu}} \approx 0,0552 $.

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