Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade
. Ao atingir sua altitude máxima igual a 100 m, um segundo corpo é lançado do mesmo local e com velocidade inicial igual ao primeiro. Determine a altura h em que os corpos se encontram. Despreze a resistência do ar.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos dois corpos lançados verticalmente para cima com a mesma velocidade inicial $ v_{0} $. O primeiro corpo atinge a altitude máxima de 100 metros. No exato momento em que o primeiro corpo chega nesse ponto mais alto, lançamos o segundo corpo. Queremos descobrir em que altura $ h $ esses dois corpos vão se encontrar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar as causas que o provocam. Precisamos usar as equações do movimento uniformemente variado, já que a única força agindo é a gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo que o primeiro corpo leva para atingir a altura máxima de 100 metros. Sabemos que, no ponto mais alto, a velocidade do corpo é zero. Podemos usar a seguinte equação da cinemática:
Aqui, $ v $ é a velocidade final (0 m/s no ponto mais alto), $ v_{0} $ é a velocidade inicial, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 10 , m/s^2 $), e $ t $ é o tempo.
Igualando a velocidade final a zero:
Resolvendo para $ t $:
Passo 3
Sabemos que a altura máxima $ H $ alcançada pelo primeiro corpo é 100 metros. Podemos usar a equação da posição para encontrar $ v_{0} $:
Substituindo $ H = 100 , m $ e $ t = \frac{v_{0}}{g} $:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por $ 2g $:
Substituindo $ g = 10 , m/s^2 $:
Passo 4
Agora que temos a velocidade inicial $ v_{0} $, vamos analisar o movimento de cada corpo após o segundo lançamento.
Primeiro Corpo:
Após alcançar a altura máxima, o primeiro corpo começa a descer. Sua posição em função do tempo $ t $ (após o segundo lançamento) é dada por:
Após alcançar a altura máxima, o primeiro corpo começa a descer. Sua posição em função do tempo $ t $ (após o segundo lançamento) é dada por:
Segundo Corpo:
O segundo corpo é lançado para cima com a mesma velocidade inicial $ v_{0} $. Sua posição em função do tempo $ t $ é:
O segundo corpo é lançado para cima com a mesma velocidade inicial $ v_{0} $. Sua posição em função do tempo $ t $ é:
Passo 5
Queremos encontrar o tempo $ t $ em que os dois corpos estão na mesma altura, ou seja, quando $ y_1(t) = y_2(t) $. Então:
Podemos simplificar eliminando $ \frac{1}{2} g t^2 $ de ambos os lados:
Substituindo $ H = 100 , m $ e $ v_{0} \approx 44,72 , m/s $:
Resolvendo para $ t $:
Passo 6
Agora que temos o tempo $ t $ em que os corpos se encontram, podemos encontrar a altura $ h $ substituindo $ t $ em uma das equações de posição. Vamos usar a do segundo corpo:
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
Os dois corpos se encontram a uma altura de aproximadamente 75 metros acima do ponto de lançamento.