Um anel de cobre tem exatamente \mathbf{1 , 0 0 0 0 0} \mathbf{~ c m} de diâmetro à temperatura de \mathbf{0}^{\circ} \mathbf{C}. Uma esfera de alumínio tem exatamente 1,00200 cm de diâmetro à \mathbf{1 00}^{\circ} \mathbf{C}. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. \alpha_{\mathrm{Al}}=24 \times 10^{-6} { }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \alpha_{\mathrm{Cu}}=1,7 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \mathrm{c}{\mathrm{Al}}=0,91 \mathrm{~J} / \mathrm{gK} ; \mathrm{c}{\mathrm{Cu}}=0,39 \mathrm{~J} / \mathrm{gK}$
Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?

Passo 1

O enunciado envolve dois fenômenos: troca de calor (calorimetria) e dilatação térmica linear. Temos um anel de cobre com diâmetro inicial \,D_{\mathrm{Cu}_0}=1{,}00000\\ \mathrm{cm} a 0^\circ\mathrm{C} e uma esfera de alumínio com diâmetro inicial \,D_{\mathrm{Al}_{100}}=1{,}00200\\ \mathrm{cm} a 100^\circ\mathrm{C}. Eles entram em contato e atingem temperatura final T_f, sem trocar calor com o ambiente. Na situação de encaixe perfeito no equilíbrio térmico, o diâmetro do anel iguala-se ao da esfera, o que fornece T_f. A partir de T_f e da conservação de energia, obtemos a razão entre as massas.

Passo 2

Escrevemos o balanço de calor (calor perdido pela esfera = calor ganho pelo anel):
m_{\mathrm{Al}}\,c_{\mathrm{Al}}\,(100 - T_f) = m_{\mathrm{Cu}}\,c_{\mathrm{Cu}}\,(T_f - 0)
e, isolando a razão de massas,
\frac{m_{\mathrm{Al}}}{m_{\mathrm{Cu}}} = \frac{c_{\mathrm{Cu}}\;T_f}{c_{\mathrm{Al}}\;(100 - T_f)}.

Passo 3

Impondo o encaixe perfeito no equilíbrio, igualamos os diâmetros finais:
D_{\mathrm{Cu}}(T_f)=D_{\mathrm{Cu}_0}\bigl(1+\alpha_{\mathrm{Cu}}\,T_f\bigr),
D_{\mathrm{Al}}(T_f)=D_{\mathrm{Al}_{100}}\bigl[1+\alpha_{\mathrm{Al}}\,(T_f-100)\bigr],
D_{\mathrm{Cu}}(T_f)=D_{\mathrm{Al}}(T_f).

Passo 4

Substituindo valores numéricos:
1\cdot\bigl(1+1{,}7\times10^{-5}T_f\bigr) = 1{,}002\cdot\bigl[1+24\times10^{-6}(T_f-100)\bigr].
Desenvolvendo e resolvendo para T_f, obtemos
T_f\approx64{,}2^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Voltando ao balanço de calor e inserindo T_f:
\frac{m_{\mathrm{Al}}}{m_{\mathrm{Cu}}} = \frac{0{,}39\cdot64{,}2}{0{,}91\cdot(100-64{,}2)} \approx0{,}77.

Resposta

\displaystyle \frac{m_{\mathrm{esfera}}}{m_{\mathrm{anel}}}\approx0{,}77

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