Casca esférica - interior e “cones”
(a) Escolha um ponto P no interior (r<R). Defina um cone de ângulo sólido d \Omega que intersecta a casca em duas “tampas” (perto/longe).
(b) Mostre que as áreas cortadas são d A_{1,2}=r_{1,2}^{2} d \Omega.
(c) Com \sigma uniforme, prove que os módulos dos campos produzidos por cada tampa em P são iguais: d E_{1}=d E_{2}=k \sigma d \Omega.
(d) Verifique e argumente sobre a oposição de direções ao longo do eixo do cone e conclua d \vec{E}_{1}+d \vec{E}_{2}=\overrightarrow{0}.
(e) Generalize por superposição (“cone a cone”) e conclua \vec{E}(P)=\overrightarrow{0} no interior.

Passo 1

O problema cai em eletrostática de superfícies carregadas: temos uma casca esférica de raio R com densidade superficial uniforme \sigma. Queremos mostrar que, para todo ponto P no interior r=\overline{OP}<R, o campo elétrico \vec E(P) é nulo, usando o argumento dos “cones” de ângulo sólido.

Passo 2

Escolhemos um ponto P qualquer dentro da casca (ou seja, \overline{OP}=r<R). Agora definimos em P um cone muito estreito de ângulo sólido infinitesimal d\Omega. Esse cone intersecta a casca em duas regiões circulares (as “tampas”): uma mais próxima de P, com raio de curvatura efetivo r_{1}, e a outra mais distante, com raio efetivo r_{2}.

Passo 3

Pela definição de ângulo sólido, para qualquer elemento de área dA sobre uma superfície esférica de raio r_i visto de P vale
d\Omega \;=\;\frac{dA_i}{r_i^2}
Logo
dA_i \;=\;r_i^2\,d\Omega
para i=1,2. Assim mostramos que as duas tampas interceptadas pelo mesmo cone têm
dA_1 = r_1^2\,d\Omega, \qquad dA_2 = r_2^2\,d\Omega.

Passo 4

Cada tampinha carrega uma carga infinitesimal
dq_i \;=\;\sigma\,dA_i \;=\;\sigma\,r_i^2\,d\Omega.
O módulo do campo infinitesimal produzido por essa carga em P é dado pela Lei de Coulomb
dE_i \;=\;k\,\frac{dq_i}{r_i^2} \;=\;k\,\frac{\sigma\,r_i^2\,d\Omega}{r_i^2} \;=\;k\,\sigma\,d\Omega,
que é o mesmo para i=1 e i=2. Portanto
dE_1 = dE_2 = k\,\sigma\,d\Omega.

Passo 5

As direções desses dois campos infinitesimais são ao longo do eixo do cone, mas uma “para dentro” e outra “para fora” em sentidos opostos. Logo
d\vec E_1 + d\vec E_2 = \vec0.

Passo 6

Como o argumento vale para qualquer cone de ângulo sólido d\Omega, podemos superpor (integrar) todos os cones que cobrem a casca inteira. Em cada par de tampas o campo se anula, e portanto a soma total dá
\vec E(P) \;=\;\iint_{\text{casca}} d\vec E \;=\;\vec0.

Resposta

\displaystyle \vec E(P)=\vec0 para todo ponto P no interior da casca esférica.

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