No corpo Z_{11}, resolva:
o sistema de equações \left\{\begin{array}{l}\overline{2} x+\overline{3} y=\overline{1} \\\ \overline{5} x-\overline{2} y=\overline{8}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema no corpo \mathbb{Z}_{11}\): \[\begin{cases} \overline{2}\,x+\overline{3}\,y=\overline{1},\\[4pt] \overline{5}\,x-\overline{2}\,y=\overline{8}. \end{cases}
As incógnitas são \,x\] e \(\,y (classes modulares em \mathbb{Z}_{11}). Os dados relevantes são os coeficientes \overline{2},\overline{3},\overline{5},\overline{-2}=\overline{9} e o termo independente \overline{8}.]

Passo 2

Rápido lembrete prático sobre \mathbb{Z}_{11} (sem frescura): é o conjunto das classes \{\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{10}\} com soma e produto feitos módulo 11. Em particular, todo elemento diferente de \overline{0} tem inverso multiplicativo em \mathbb{Z}_{11}. Para resolver sistemas lineares aqui usamos exatamente as mesmas operações que em \mathbb{R} (somar múltiplos de equações, multiplicar por inversos), mas reduzindo os resultados módulo 11.

Passo 3

Vamos precisar de alguns inversos em \mathbb{Z}_{11}. Calculo por tentativa rápida (ou Euclides, se preferir), mostrando só as multiplicações:
\begin{aligned} \overline{2}^{-1} &= \overline{6}\quad\text{pois}\quad \overline{2}\cdot\overline{6}=\overline{12}=\overline{1},\\[4pt] \overline{3}^{-1} &= \overline{4}\quad\text{pois}\quad \overline{3}\cdot\overline{4}=\overline{12}=\overline{1},\\[4pt] \overline{5}^{-1} &= \overline{9}\quad\text{pois}\quad \overline{5}\cdot\overline{9}=\overline{45}=\overline{1},\\[4pt] \overline{7}^{-1} &= \overline{8}\quad\text{pois}\quad \overline{7}\cdot\overline{8}=\overline{56}=\overline{1}. \end{aligned}
(Anota mental: \overline{-2}=\overline{9} e seu inverso é \overline{5}, mas não vamos precisar dele explicitamente aqui.)]

Passo 4

Isolamos x a partir da primeira equação usando \overline{2}^{-1}=\overline{6}. Multiplicando a primeira equação por \overline{6}:
x = \overline{6}\big(\overline{1}-\overline{3}\,y\big).
Agora desenvolvemos o produto módulo 11:
x=\overline{6}-\overline{6}\cdot\overline{3}\,y.
Como \overline{6}\cdot\overline{3}=\overline{18}=\overline{7} (porque 18-11=7), obtemos
x=\overline{6}-\overline{7}\,y.

Passo 5

Substituímos esse x na segunda equação \overline{5}x-\overline{2}y=\overline{8}:
\overline{5}\big(\overline{6}-\overline{7}y\big)-\overline{2}y=\overline{8}.
Expandindo:
\overline{30}-\overline{35}y-\overline{2}y=\overline{8}.
Reduzimos os coeficientes módulo 11: \overline{30}=\overline{8} (pois 30-22=8) e \overline{35}=\overline{2} (pois 35-33=2), então
\overline{8}-\overline{2}y-\overline{2}y=\overline{8}.
Agrupando os termos em y:
\overline{8}-\overline{4}y=\overline{8}.
Subtraindo \overline{8} dos dois lados:
-\overline{4}y=\overline{0}.
No módulo 11, -\overline{4}=\overline{7}, então
\overline{7}\,y=\overline{0}.

Passo 6

Como \overline{7} é invertível em \mathbb{Z}_{11} (tem inverso \overline{8}), multiplicamos ambos os lados por \overline{8} e obtemos
y=\overline{8}\cdot\overline{0}=\overline{0}.

Passo 7

Voltamos para x=\overline{6}-\overline{7}y e substituímos y=\overline{0}:
x=\overline{6}-\overline{7}\cdot\overline{0}=\overline{6}.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom confirmar): substituindo (x,y)=(\overline{6},\overline{0}) nas equações originais:
\overline{2}\cdot\overline{6}+\overline{3}\cdot\overline{0}=\overline{12}=\overline{1},
\overline{5}\cdot\overline{6}-\overline{2}\cdot\overline{0}=\overline{30}=\overline{8}.
As duas iguaisdades conferem, portanto a solução está correta.

Resposta

x=\overline{6}
y=\overline{0}

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