No corpo Z_{11}, resolva:
o sistema de equações \left\{\begin{array}{l}\overline{2} x+\overline{3} y=\overline{1} \\\ \overline{5} x-\overline{2} y=\overline{8}\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema no corpo \mathbb{Z}_{11}\):
\[\begin{cases} \overline{2}\,x+\overline{3}\,y=\overline{1},\\[4pt] \overline{5}\,x-\overline{2}\,y=\overline{8}. \end{cases}
As incógnitas são \,x\] e \(\,y (classes modulares em \mathbb{Z}_{11}). Os dados relevantes são os coeficientes \overline{2},\overline{3},\overline{5},\overline{-2}=\overline{9} e o termo independente \overline{8}.]
Passo 2
Rápido lembrete prático sobre \mathbb{Z}_{11} (sem frescura): é o conjunto das classes \{\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{10}\} com soma e produto feitos módulo 11. Em particular, todo elemento diferente de \overline{0} tem inverso multiplicativo em \mathbb{Z}_{11}. Para resolver sistemas lineares aqui usamos exatamente as mesmas operações que em \mathbb{R} (somar múltiplos de equações, multiplicar por inversos), mas reduzindo os resultados módulo 11.
Passo 3
Vamos precisar de alguns inversos em \mathbb{Z}_{11}. Calculo por tentativa rápida (ou Euclides, se preferir), mostrando só as multiplicações: