Determine todos os divisores de zero não-nulos do anel \mathbb{Z}_{15}.
\bar{a} e \bar{b} são divisores de zero não-nulos de \mathbb{Z}_{15} se \bar{a} \cdot \bar{b}=\overline{0} com a \neq \overline{0} e b \neq \overline{0}, ou seja, \overline{a \cdot b}=\overline{0} a \cdot b é um múltiplo de 15 a, b \in\{3,5,6,9,10,12\}, um conjunto formado por divisores de 15 e seus múltiplos maiores do que 1 e menores do que 15 . Portanto, os divisores de zero de \mathbb{Z}_{15} são \overline{3}, \overline{5}, \overline{6}, \overline{9}, \overline{10}, \overline{12}.
Observação: observe que os divisores de zero não-nulos são os elementos \bar{k} \in \mathbb{Z}_{15} com 1 \leq k<15, tais que \{k, 15\}>1. De um modo geral, os divisores de zero não-nulos de um anel \mathbb{Z}_{n} são os elementos \bar{k} \in \mathbb{Z}_{n} com 1 \leq k<n, tais que \{k, n\}>1.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar todos os divisores de zero não-nulos do anel \mathbb{Z}_{15}.
Informações fornecidas e definição relevante (do enunciado): \bar{a} e \bar{b} são divisores de zero não-nulos se
\bar{a}\cdot\bar{b}=\overline{0} com \bar{a}\neq\overline{0} e \bar{b}\neq\overline{0}.
Observação dada: um critério útil é que \bar{k}\in\mathbb{Z}_{15} é divisor de zero não-nulo quando \gcd(k,15)>1.
Dados concretos disponíveis: estamos em \mathbb{Z}_{15}, isto é, estamos trabalhando com restos modulares dos inteiros módulo 15.

Passo 2

Primeira ideia-chave que preciso te ensinar (e que vamos usar): se \gcd(a,n)=1 então \bar{a} é inversível em \mathbb{Z}_n (é unidade) e, portanto, não pode ser divisor de zero. Vou explicar por quê, passo a passo.
Pelo Teorema de Bézout, se \gcd(a,n)=1 existem inteiros x e y tais que
\,a x + n y = 1. Tomando classes modulares, isso dá
\, \overline{a}\cdot\overline{x} + \overline{n}\cdot\overline{y} = \overline{1}.
Como \overline{n}=\overline{0} em \mathbb{Z}_n, temos
\overline{a}\cdot\overline{x}=\overline{1}. Assim \overline{x} é o inverso multiplicativo de \overline{a},
ou seja, \overline{a} é unidade. Se \overline{a} tem inverso, não existe \overline{b}\neq\overline{0} com
\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{0} (porque multiplicando a igualdade por \overline{a}^{-1} veríamos \overline{b}=\overline{0}).
Portanto: elementos com \gcd(a,n)=1 não são divisores de zero.

Passo 3

Segunda ideia-chave (o outro lado da caracterização): se \gcd(a,n)=d>1 então \bar{a} é divisor de zero em \mathbb{Z}_n. Vou construir explicitamente um \bar{b}\neq\overline{0} tal que \bar{a}\cdot\bar{b}=\overline{0}.
Escrevendo a=d\cdot a' e n=d\cdot n' com inteiros a',n', observe que n'=\dfrac{n}{d} é inteiro e 1\le n'<n (porque d>1). Então considere b=n'. Temos
a\cdot b = (d a')\cdot n' = d\cdot a'\cdot n' = a'\cdot (d n') = a'\cdot n.
Logo a\cdot b é múltiplo de n, isto é, \overline{a\cdot b}=\overline{0} em \mathbb{Z}_n. Além disso b=n'=\dfrac{n}{d} não é múltiplo de n (pois n' < n), então \bar{b}\neq\overline{0}. Assim \bar{a} é de fato divisor de zero.
Resumo das duas ideias: em \mathbb{Z}_n um elemento \bar{a} (com 1\le a<n) é divisor de zero se, e somente se, \gcd(a,n)>1.

Passo 4

Agora aplicamos tudo ao caso concreto n=15. Primeiro fatoramos 15:
\,15 = 3\cdot 5. Portanto os inteiros 1\le k<15 que têm \gcd(k,15)>1 são exatamente os múltiplos de 3 ou de 5.
Liste os múltiplos de 3 estritamente menores que 15:
\,3,6,9,12.
Liste os múltiplos de 5 estritamente menores que 15:
\,5,10.
A união desses conjuntos dá todos os k com \gcd(k,15)>1:
\,3,5,6,9,10,12.
Pelo resultado do passo anterior, as classes \overline{3},\overline{5},\overline{6},\overline{9},\overline{10},\overline{12} são candidatas (e serão) os divisores de zero não-nulos de \mathbb{Z}_{15}.

Passo 5

Vamos verificar concretamente que cada um desses produz um produto nulo com alguma outra classe não-nula (assim fica claro na prova):
  • Para a=3: \gcd(3,15)=3. Tome b=\dfrac{15}{3}=5. Então 3\cdot 5=15\equiv 0 em \mathbb{Z}_{15}. Logo \overline{3}\cdot\overline{5}=\overline{0}.
  • Para a=5: \gcd(5,15)=5. Tome b=\dfrac{15}{5}=3. Então 5\cdot 3=15\equiv 0. Logo \overline{5}\cdot\overline{3}=\overline{0}.
  • Para a=6: \gcd(6,15)=3. Tome b=\dfrac{15}{3}=5. Então 6\cdot 5=30\equiv 0. Logo \overline{6}\cdot\overline{5}=\overline{0}.
  • Para a=9: \gcd(9,15)=3. Tome b=5. Então 9\cdot 5=45\equiv 0. Logo \overline{9}\cdot\overline{5}=\overline{0}.
  • Para a=10: \gcd(10,15)=5. Tome b=3. Então 10\cdot 3=30\equiv 0. Logo \overline{10}\cdot\overline{3}=\overline{0}.
  • Para a=12: \gcd(12,15)=3. Tome b=5. Então 12\cdot 5=60\equiv 0. Logo \overline{12}\cdot\overline{5}=\overline{0}.
Em todos os casos encontrei \bar{b}\neq\overline{0} com produto nulo, confirmando que são divisores de zero não-nulos.

Passo 6

Finalmente, precisamos afirmar que não há outros divisores de zero não-nulos além desses. Isso segue imediatamente da caracterização: se 1\le k<15 e \gcd(k,15)=1, então \bar{k} é unidade (tem inverso) e não pode ser divisor de zero. Os inteiros 1\le k<15 com \gcd(k,15)=1 são exatamente
\,1,2,4,7,8,11,13,14 (os restantes), portanto eles não são divisores de zero. Logo a lista obtida no passo anterior é completa.

Resposta

\overline{3},\\ \overline{5},\\ \overline{6},\\ \overline{9},\\ \overline{10},\\ \overline{12}

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