Um anel fino (uma circunferência) de raio a está uniformemente carregado com carga total Q. Determine o campo elétrico devido a esta carga em todos os pontos no eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro do anel.

Passo 1

O enunciado nos dá um anel de raio a, carregado uniformemente com carga total Q, e pede o campo elétrico em pontos sobre o eixo perpendicular ao plano do anel passando pelo seu centro. O conteúdo usado será eletrostática de distribuições contínuas de carga, simetria e Lei de Coulomb, junto com integração.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com o centro do anel na origem, o anel coincidente com o plano xy e o eixo buscado sendo o eixo z. A densidade linear de carga é
lambda = Q2pi a,
e um elemento de carga ao longo do anel é
dq = lambda,a,dtheta

Passo 3

O campo produzido por dq no ponto P(0,0,z) segundo a Lei de Coulomb é
dE = 14piepsilon0,dq;rr^3,
onde
r=(-acostheta,,-asintheta,,z), r=raiza^2+z^2
Pela simetria circular, as componentes x e y se cancelam na integração, sobrando apenas a componente z.

Passo 4

A componente z de dE é
dEz = 14piepsilon0,dq,z(a^2+z^2)^3/2 = 14piepsilon0,lambda,a,z(a^2+z^2)^3/2,dtheta
Integrando theta de 0 a 2pi, obtemos
Ez = 14piepsilon0,lambda,a,z(a^2+z^2)^3/2 integral0^2pidtheta = 14piepsilon0,Q,z(a^2+z^2)^3/2

Passo 5

A direção do campo é ao longo do eixo z: para z>0, aponta em +hat ez; para z<0, em -hat ez.

Resposta

E(0,0,z) = 14piepsilon0,Q,zl(a^2+z^2r)^3/2,hat ez

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