Questão 12) Um tanque cilíndrico possui uma base circular de 60 cm de diâmetro e uma altura de 1,2m. Para enchê-lo completamente, utilizando uma mangueira de seção transversal circular de diâmetro 3 cm , são necessárias 3 min . a) Qual é a vazão de água através da mangueira? b) Qual á a velocidade com que a água sai da mangueira? c) Com que velocidade sobe o nível de água no tanque?

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo:
  • Temos um tanque cilíndrico com diâmetro da base 60 cm e altura 1,2 m.
  • Enche ele inteiro com uma mangueira de diâmetro 3 cm em 3 min.
    A matéria aqui é dinâmica de fluidos (ou continuidade): a gente vai usar
    • Volume de cilindro: V = pi R^2 H
    • Vazão (fluxo volumétrico): Q = tfracVt
    • Velocidade de saída: v = tfracQA
    • Taxa de subida do nível: tfracdhdt = tfracQAbase
    Então primeiro vamos achar o volume do tanque, daí a vazão, depois a velocidade na mangueira e, por fim, a velocidade de subida do nível.

Passo 2

Calcular a vazão Q:
  1. Convertemos tudo pra metro e segundo:
    • Raio do tanque R = 60,cm/2 = 30,cm = 0,30,m
    • Altura H = 1,2,m
    • Tempo t = 3,min = 180,s
  2. Volume do tanque:
V = pi R^2 H = pi,(0,30)^2 times 1,2 = 0,108,pi;m^3
  1. Vazão (volume por tempo):
Q = Vt = 0,108,pi180 = 0,0006,pi;m^3/s approx 1,885times10^-3,m^3/s

Passo 3

Calcular a velocidade de saída v:
  1. Raio da mangueira r = 3,cm/2 = 1,5,cm = 0,015,m.
  2. Área da seção da mangueira:
Amangueira = pi r^2 = pi,(0,015)^2 = 0,000225,pi;m^2
  1. Velocidade do jato:
v = QAmangueira = 0,0006,pi0,000225,pi = 0,00060,000225 = 2,667;m/s

Passo 4

Calcular a velocidade de subida do nível tfracdhdt:
  1. Área da base do tanque:
Abase = pi R^2 = pi,(0,30)^2 = 0,09,pi;m^2
  1. Taxa de variação da altura:
dhdt = QAbase = 0,0006,pi0,09,pi = 0,00060,09 = 0,00667;m/s

Resposta

(a) Vazão Q approx 1,885times10^-3,m^3/s.
(b) Velocidade de saída v approx 2,67,m/s.
(c) Velocidade de subida do nível dhdtapprox 0,00667,m/s.

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