Seja A um anel no qual x^{2}=x para todo x \in A. Mostre que x=-x para todo x \in A. (Sugestão: calcule (x+x)^{2}.)
Em um anel A, se a, b \in A, então (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^{2}+a b+b a+b^{2}. Se a=b=x, então (x+x)^{2}=x^{2}+x \cdot x+x \cdot x+x^{2}=x^{2}+x^{2}+x^{2}+x^{2}=x+x+x+x. Por outro lado, (x+x)^{2}=x+x. Logo, x+x=x+x+x+x. Somando-se (-x)+(-x)+(-x) aos dois membros dessa última igualdade, obtemos: (-x)+x+(-x)+x+(-x)=(-x)+x+(-x)+x+(-x)+x+x-x=x para todo x \in A.
Observação. Note que utilizamos as propriedades associativa da adição e distributiva da multiplicação com relação à adição no desenvolvimento acima.

Passo 1

O enunciado dá que A é um anel e que, para todo x\in A, vale a identidade
x^{2}=x.
Pede-se para mostrar que, a partir disso, para todo x\in A temos
x=-x.
Informações relevantes que temos explicitamente:
  • A hipótese é válida para todo x\in A.
  • Podemos usar as propriedades de anel: associatividade e comutatividade da adição, existência de elemento nulo 0 e inverso aditivo (-x) para cada x, e distributividade da multiplicação sobre a adição.
  • A sugestão do enunciado é calcular (x+x)^{2}. Não vamos resolver nada ainda; só registrei o que foi pedido.

Passo 2

Vamos preparar o que vamos usar e definir notação simples:
  • Quando escrevo 2x quero dizer x+x (soma de x duas vezes).
  • Quando escrevo 4x quero dizer x+x+x+x (soma de x quatro vezes).
    Essas são convenções comuns e só usam a operação de adição do anel, nada de multiplicação por inteiros externo ao anel — é só soma repetida. Também usarei que, em qualquer anel, podemos somar o mesmo elemento a ambos os lados de uma igualdade e existe o inverso aditivo (-y) tal que y+(-y)=0.

Passo 3

Agora calculo (x+x)^{2} expandindo com a distributividade. Em qualquer anel vale a fórmula
(a+b)^{2}=a^{2}+ab+ba+b^{2}.
Aplicando com a=b=x obtemos:
(x+x)^{2}=x^{2}+x\cdot x+x\cdot x+x^{2}.
Como x^{2}=x pela hipótese, cada termo x^{2} ou x\cdot x vale x. Portanto
(x+x)^{2}=x+x+x+x.
Ou seja, concluímos que
(x+x)^{2}=4x.

Passo 4

Por outro lado, como a hipótese vale para todo elemento de A, ela vale também para o elemento x+x. Portanto
(x+x)^{2}=x+x.
Juntando com o resultado do passo anterior obtemos a igualdade
x+x = x+x+x+x,
ou em notação curta
2x = 4x.

Passo 5

Agora manipulo essa igualdade por soma de inversos aditivos para isolar termos. Subtraindo 2x de ambos os lados (isto é, somando (-2x) aos dois lados), obtemos
2x + (-2x) = 4x + (-2x).
O lado esquerdo é 0. No lado direito 4x + (-2x)=2x. Logo
0 = 2x.
Ou seja,
x+x=0
para todo x\in A. Em palavras: cada elemento somado a si mesmo dá 0.

Passo 6

Se x+x=0, isso significa que x é o inverso aditivo de x (pois o inverso aditivo -x é definido como o elemento que somado a x 0). A unicidade do inverso aditivo (propriedade básica de grupos abelianos) implica que -x=x. Portanto, para todo x\in A vale
x=-x.

Resposta

x=-x para todo x\in A.

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