Seja
um anel no qual
para todo
. Mostre que
para todo
. (Sugestão: calcule
.)
Em um anel
, se
, então
. Se
, então
. Por outro lado,
. Logo,
. Somando-se
aos dois membros dessa última igualdade, obtemos:
para todo
.
Observação. Note que utilizamos as propriedades associativa da adição e distributiva da multiplicação com relação à adição no desenvolvimento acima.
Observação. Note que utilizamos as propriedades associativa da adição e distributiva da multiplicação com relação à adição no desenvolvimento acima.
Passo 1
O enunciado dá que
é um anel e que, para todo
, vale a identidade
Pede-se para mostrar que, a partir disso, para todo
temos
Informações relevantes que temos explicitamente:
- A hipótese é válida para todo
. - Podemos usar as propriedades de anel: associatividade e comutatividade da adição, existência de elemento nulo
e inverso aditivo para cada , e distributividade da multiplicação sobre a adição. - A sugestão do enunciado é calcular
. Não vamos resolver nada ainda; só registrei o que foi pedido.
Passo 2
Vamos preparar o que vamos usar e definir notação simples:
- Quando escrevo
quero dizer (soma de duas vezes). - Quando escrevo
quero dizer (soma de quatro vezes).
Essas são convenções comuns e só usam a operação de adição do anel, nada de multiplicação por inteiros externo ao anel — é só soma repetida. Também usarei que, em qualquer anel, podemos somar o mesmo elemento a ambos os lados de uma igualdade e existe o inverso aditivotal que .
Passo 3
Agora calculo
expandindo com a distributividade. Em qualquer anel vale a fórmula
Aplicando com
obtemos:
Como
pela hipótese, cada termo
ou
vale
. Portanto
Ou seja, concluímos que
Passo 4
Por outro lado, como a hipótese vale para todo elemento de
, ela vale também para o elemento
. Portanto
Juntando com o resultado do passo anterior obtemos a igualdade
ou em notação curta
Passo 5
Agora manipulo essa igualdade por soma de inversos aditivos para isolar termos. Subtraindo
de ambos os lados (isto é, somando
aos dois lados), obtemos
O lado esquerdo é
. No lado direito
. Logo
Ou seja,
para todo
. Em palavras: cada elemento somado a si mesmo dá
.
Passo 6
Se
, isso significa que
é o inverso aditivo de
(pois o inverso aditivo
é definido como o elemento que somado a
dá
). A unicidade do inverso aditivo (propriedade básica de grupos abelianos) implica que
. Portanto, para todo
vale