Um anel plástico de raio R possui cargas positivas distribuídas de forma homogênea sobre seu perímetro na forma de densidade linear lambda, o anel é partido ao meio. Determine o potencial elétrico (V) no ponto P ao centro do anel?

Passo 1

Então, mano, o enunciado diz assim: temos um anel de raio V = integral dV, dV = 14pivarepsilon0,dqr com carga positiva distribuída uniformemente (densidade linear ) e esse anel foi cortado ao meio, ficando uma semi-circunferência. Pergunta: qual o potencial elétrico no ponto que é justamente o centro dessa meia-lua de carga?
O conteúdo envolvido é eletrostática básica: potencial gerado por uma distribuição contínua de carga. Vamos usar a fórmula
e o fato de que, para uma linha com densidade , . No nosso caso, e a distância do elemento até o centro é sempre .

Passo 2

Vamos parametrizar a semi-circunferência por um ângulo dV = 14pivarepsilon0,dqR = 14pivarepsilon0,lambda,R,dthetaR = lambda4pivarepsilon0,dtheta variando de a .
  • Cada pequeno pedaço de arco tem comprimento .
  • A carga desse pedaço é .
  • A distância do pedaço ao centro é (constante).
    Logo o potencial gerado por no centro é

Passo 3

Agora somamos (integral) todos esses pedacinhos de V = integral0^pi dV = integral0^pi lambda4pivarepsilon0,dtheta = lambda4pivarepsilon0,l[thetar]0^pi = lambda4pivarepsilon0,pi = lambda4,varepsilon0 a :

Resposta

boxedV = lambda4,varepsilon0

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