Se R é um anel, prove que se a, b in R, então (a+b)^2=a^2+a b+b a+b^2 onde por x^2 se entende x cdot x.

Passo 1

O enunciado pede para provar, em um anel R, que para quaisquer a,bin R vale
(a+b)^2 ;=; a^2 + a b + b a + b^2
O conteúdo principal é a definição de quadrado em anel e as leis distributivas.

Passo 2

Em todo anel R temos as leis distributivas:
(x+y)cdot z = xcdot z + ycdot z, xcdot(y+z) = xcdot y + xcdot z,
e definimos o quadrado de um elemento por
x^2 := xcdot x

Passo 3

Começamos calculando diretamente a definição de (a+b)^2:
(a+b)^2 = (a+b)cdot (a+b)

Passo 4

Aplicando a distributividade à esquerda em (a+b)cdot(a+b), obtemos
(a+b)cdot(a+b) = acdot(a+b) + bcdot(a+b)
Em seguida, em cada um desses termos usamos a distributividade à direita:
acdot(a+b) = acdot a + acdot b = a^2 + a b,
bcdot(a+b) = bcdot a + bcdot b = b a + b^2

Passo 5

Somando as duas parcelas, concluímos
(a+b)^2 = l(a^2 + a br) + l(b a + b^2r) = a^2 + a b + b a + b^2

Resposta

(a+b)^2 = a^2 + a b + b a + b^2

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