Seja X=1,2,3 e F o conjunto de todas as funções f: X X que são constantes. Construa a tábua da operação de composição de funções definida em F e verifique se tem elemento neutro.

Passo 1

O enunciado define X=1,2,3 e F o conjunto de todas as funções constantes de X em X. Ou seja, cada finF satisfaz f(x)=c para todo xin X, onde cin1,2,3 é fixo. A tarefa é construir a tabela da operação circ dada por composição de funções em F e verificar se existe elemento neutro.

Passo 2

Rotulemos as três funções constantes por
f1(x)=1, f2(x)=2, f3(x)=3
para todo xin X. Assim F=f1,f2,f3.

Passo 3

Dados fi,fjinF, com fi(x)=i e fj(x)=j, temos
(ficirc fj)(x)=fil(fj(x)r)=fi(j)=i
Logo
ficirc fj=fi

Passo 4

A tabela de composição fica então
c|ccc circ & f1 & f2 & f3hline f1 & f1 & f1 & f1 f2 & f2 & f2 & f2 f3 & f3 & f3 & f3

Passo 5

Para existir elemento neutro e precisamos de
ecirc fi=fi e ficirc e=fi
para todo i. Mas ficirc e=fi vale para qualquer e, enquanto
ecirc fi=eneq fi
salvo quando e=fi. Não há uma única função e que funcione para todos os fi. Portanto não existe elemento neutro em (F,circ).

Resposta

A tabela de composição é
c|ccc circ & f1 & f2 & f3hline f1 & f1 & f1 & f1 f2 & f2 & f2 & f2 f3 & f3 & f3 & f3
Não existe elemento neutro.

Exercícios relacionados