Se R é um anel com unidade 1 e phi é um homomorfismo de R sobre R^prime, então prove que phi(1) é a unidade de R^prime.

Passo 1

O enunciado nos dá um anel R com unidade 1 e um homomorfismo de anéis sobrejetivo
phicolon Rto R'. Queremos provar que
phi(1) é elemento identidade em R'. Para isso usaremos as propriedades de homomorfismo de anéis, em especial
phi(ab)=phi(a),phi(b), e a surjetividade de phi.

Passo 2

Defina
e = phi(1)
Para qualquer rin R, pela propriedade multiplicativa do homomorfismo,
phi(1),phi(r) =phi(1cdot r) =phi(r)

Passo 3

Analogamente, ainda para todo rin R,
phi(r),phi(1) =phi(rcdot 1) =phi(r)

Passo 4

Como phi é sobrejetiva, dado qualquer xin R' existe rin R tal que x=phi(r). Então
e,x =phi(1),phi(r) =phi(r) =x,
x,e =phi(r),phi(1) =phi(r) =x
Isto mostra que e é tanto identidade à esquerda quanto à direita em R'.

Resposta

Portanto phi(1) é a unidade de R'.

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