Se
é um anel com unidade 1 e
é um homomorfismo de
sobre
, então prove que
é a unidade de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um anel
com unidade
e um homomorfismo de anéis sobrejetivo
. Queremos provar que
é elemento identidade em
. Para isso usaremos as propriedades de homomorfismo de anéis, em especial
, e a surjetividade de
.
Passo 2
Defina
Para qualquer
, pela propriedade multiplicativa do homomorfismo,
Passo 3
Analogamente, ainda para todo
,
Passo 4
Como
é sobrejetiva, dado qualquer
existe
tal que
. Então
Isto mostra que
é tanto identidade à esquerda quanto à direita em
.
Resposta
Portanto
é a unidade de
.