Prove ou contradiga a seguinte afirmação. Seja , , e grupos. Se , então .
Passo 1
O enunciado pergunta se no mundo dos grupos vale a “propriedade de cancelamento” na forma\r
\r
O conteúdo envolvido é produto direto de grupos e isomorfismo. Vamos ver que, sem hipóteses adicionais, essa propriedade falha: construiremos contraexemplo explícito usando grupos abelianos (vetores sobre o corpo ) de dimensão infinita.
Passo 2
Escolha um primo e um espaço vetorial sobre de dimensão infinita , onde é um cardinal infinito. Considere os grupos abelianos (soma no lugar de produto):\r
\r
Aqui é o somatório direto de -espaços, visto como soma direta de grupos abelianos.
Passo 3
Mostramos que qualquer isomorfismo de grupos entre espaços vetoriais sobre é automaticamente -linear. De fato, se é um isomorfismo de grupos abelianos e , então\r
\r
Como em Fp temos p=0, isso mostra que f preserva escalares em Fp. Logo, isomorfismo de grupos iff isomorfismo de Fp-espaços vetoriais.
Passo 4
Calculemos agora os somatórios diretos (que correspondem ao produto direto de grupos):\r
. Como é infinito, vale . Logo \r
\r
isto é, como -espaços e, portanto, como grupos.\r
. De novo, , então \r
\r
ou seja, também. \r
\r
Portanto\r
\r
como grupos abelianos.
Passo 5
Por outro lado, dim G=dim V=kappa, mas dim H=kappa+1>kappa. Logo\r
Gnotcong H \r
como Fp-espaços (nem como grupos). Esse exemplo mostra que não vale a propriedade de cancelamento sem hipóteses extras sobre K.
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo: seja V de dimensão infinita kappa sobre Fp, \r ;G=V,;H=VoplusFp,;K=V\r
Então \r