Prove ou contradiga a seguinte afirmação. Seja G, H, e K grupos. Se G times K cong H times K, então G cong H.

Passo 1

O enunciado pergunta se no mundo dos grupos vale a “propriedade de cancelamento” na forma\r
se Gtimes Kcong Htimes K então Gcong Hã\r
O conteúdo envolvido é produto direto de grupos e isomorfismo. Vamos ver que, sem hipóteses adicionais, essa propriedade falha: construiremos contraexemplo explícito usando grupos abelianos (vetores sobre o corpo Fp) de dimensão infinita.

Passo 2

Escolha um primo p e um espaço vetorial V sobre Fp de dimensão infinita kappa, onde kappa é um cardinal infinito. Considere os grupos abelianos (soma no lugar de produto):\r
G = V, H = V oplus Fp, K = V \r
Aqui oplus é o somatório direto de Fp-espaços, visto como soma direta de grupos abelianos.

Passo 3

Mostramos que qualquer isomorfismo de grupos entre espaços vetoriais sobre Fp é automaticamente Fp-linear. De fato, se fcolon Xto Y é um isomorfismo de grupos abelianos e kin0,1,dots,p-1, então\r
f(kx)=f(underbracex+cdots+xk vezes)=underbracef(x)+cdots+f(x)k vezes=k,f(x) \r
Como em Fp temos p=0, isso mostra que f preserva escalares em Fp. Logo, isomorfismo de grupos iff isomorfismo de Fp-espaços vetoriais.

Passo 4

Calculemos agora os somatórios diretos (que correspondem ao produto direto de grupos):\r
  • . Como é infinito, vale . Logo \r
\r
isto é, como -espaços e, portanto, como grupos.\r
  • . De novo, , então \r
\r
ou seja, também. \r
\r
Portanto\r
\r
como grupos abelianos.

Passo 5

Por outro lado, dim G=dim V=kappa, mas dim H=kappa+1>kappa. Logo\r
Gnotcong H \r
como Fp-espaços (nem como grupos). Esse exemplo mostra que não vale a propriedade de cancelamento sem hipóteses extras sobre K.

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo: seja V de dimensão infinita kappa sobre Fp, \r
;G=V,;H=VoplusFp,;K=V\r
Então \r
Gtimes Kcong Voplus Vcong Vcong (VoplusFp)oplus Vcong Htimes K, \r
porém Gnotcong H.

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