Se
é um homomorfismo de grupo e
é abeliano, prove que
é abeliano.
Passo 1
O enunciado diz que temos um homomorfismo de grupos
e que
é abeliano, ou seja, para todo
vale
Queremos mostrar que a imagem
é um subgrupo de
em que a operação é comutativa.
Passo 2
Sejam dois elementos arbitrários de
, digamos
. Então existem
tais que
Como
é homomorfismo, temos
Mas
é abeliano, logo
. Aplicando
novamente,
Portanto
ou seja,
e
comutam em
.
Passo 3
Mostramos que quaisquer dois elementos de
comutam. Logo
é abeliano.