Se phi: G H é um homomorfismo de grupo e G é abeliano, prove que phi(G) é abeliano.

Passo 1

O enunciado diz que temos um homomorfismo de grupos phicolon G to H e que G é abeliano, ou seja, para todo a,bin G vale
ab = ba
Queremos mostrar que a imagem phi(G)=phi(g)mid gin G é um subgrupo de H em que a operação é comutativa.

Passo 2

Sejam dois elementos arbitrários de phi(G), digamos x,yinphi(G). Então existem a,bin G tais que
x = phi(a), y = phi(b)
Como phi é homomorfismo, temos
xy = phi(a),phi(b) = phil(abr)
Mas G é abeliano, logo ab = ba. Aplicando phi novamente,
phil(abr) = phil(bar) = phi(b),phi(a) = yx
Portanto
xy = phi(ab) = phi(ba) = yx,
ou seja, x e y comutam em phi(G).

Passo 3

Mostramos que quaisquer dois elementos de phi(G) comutam. Logo phi(G) é abeliano.

Resposta

phi(G) é abeliano.

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