Um cilindro de cobre a
, tem diâmetro 12.45 mm (medido com paquímetro) e altura 51.5 mm (medida com régua milimetrada). Considere que o coeficiente de expansão linear do cobre seja
(constante).
a) Calcule seu volume na temperatura indicada, com a precisão adequada.
Agora, considere que o cilindro foi aquecido até
.
b) Calcule as dimensões, diâmetro e altura, na nova temperatura.
c) Utilizando as dimensões do item (b), calcule o novo volume.
d) Utilizando o volume inicial do item (a), calcule o novo volume expandido e compare tanto com o volume inicial quanto com o volume expandido calculado no item ©.
a) Calcule seu volume na temperatura indicada, com a precisão adequada.
b) Calcule as dimensões, diâmetro e altura, na nova temperatura.
c) Utilizando as dimensões do item (b), calcule o novo volume.
d) Utilizando o volume inicial do item (a), calcule o novo volume expandido e compare tanto com o volume inicial quanto com o volume expandido calculado no item ©.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro de cobre com certas dimensões a uma temperatura inicial de
. Precisamos calcular o volume inicial, depois ver como as dimensões mudam quando a temperatura aumenta para
, e finalmente comparar os volumes antes e depois do aquecimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria para calcular volumes e a teoria de expansão térmica linear para entender como as dimensões do cilindro mudam com a temperatura.
Passo 2
Vamos começar calculando o volume inicial do cilindro a
. O volume
de um cilindro é dado pela fórmula:
Onde:
-
é o diâmetro -
é a altura -
é uma constante (aproximadamente 3,1416)
Essa fórmula calcula a área da base circular do cilindro e multiplica pela altura para encontrar o volume total.
Passo 3
Primeiro, vamos converter as medidas de diâmetro e altura de milímetros para metros para facilitar os cálculos:
Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume:
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos o raio (
):
Agora, calculamos
:
Em seguida, multiplicamos por
:
Finalmente, multiplicamos pela altura
:
Para converter para centímetros cúbicos (pois 1 m³ = 1.000.000 cm³):
Passo 5
Então, o volume inicial do cilindro a
é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos calcular como as dimensões do cilindro, ou seja, diâmetro e altura, mudam quando a temperatura aumenta para
. Para isso, usamos a fórmula da expansão linear:
Onde:
-
é a variação na dimensão -
é o coeficiente de expansão linear -
é a dimensão inicial -
é a variação de temperatura
Como estamos lidando com o diâmetro e a altura, aplicaremos essa fórmula para ambas as dimensões.
Passo 7
Primeiro, calculamos a variação de temperatura:
O coeficiente de expansão linear dado é:
Passo 8
Vamos calcular a nova dimensão para o diâmetro:
Então, o novo diâmetro é:
Convertendo para milímetros:
Passo 9
Agora, calculamos a nova dimensão para a altura:
Então, a nova altura é:
Convertendo para milímetros:
Passo 10
Portanto, após o aquecimento até
, o diâmetro do cilindro é aproximadamente
e a altura é aproximadamente
.
Passo 11
Agora, vamos usar essas novas dimensões para calcular o novo volume do cilindro à temperatura elevada. Usamos novamente a fórmula do volume:
Primeiro, convertendo as medidas para metros:
Passo 12
Calculando o raio:
Calculando
:
Multiplicando por
:
Multiplicando pela nova altura:
Convertendo para centímetros cúbicos:
Passo 13
Então, o novo volume do cilindro a
, calculado usando as novas dimensões, é aproximadamente
.
Passo 14
Agora, vamos calcular o novo volume expandido usando o volume inicial e a expansão volumétrica. A expansão volumétrica para sólidos pode ser estimada pela fórmula:
Assim, o novo volume é:
Onde:
-
é o volume inicial -
é o coeficiente de expansão linear -
é a variação de temperatura
Passo 15
Substituindo os valores:
Calculando o termo dentro dos parênteses:
Então,
Passo 16
Portanto, o volume expandido calculado usando a expansão volumétrica é aproximadamente
.
Passo 17
Agora, vamos comparar os valores:
- Volume inicial:
- Novo volume calculado com dimensões expandidas:
- Novo volume expandido pela fórmula:
Observamos que há uma pequena diferença entre os cálculos, que pode ser devido a arredondamentos nas etapas anteriores. De forma geral, os resultados estão muito próximos, confirmando que as dimensões expandidas e a fórmula de expansão volumétrica estão consistentes.
Resposta
a) O volume inicial do cilindro a
é aproximadamente
.