Um cilindro de cobre a 23,4^circ C, tem diâmetro 12.45 mm (medido com paquímetro) e altura 51.5 mm (medida com régua milimetrada). Considere que o coeficiente de expansão linear do cobre seja 17 times 10^-6 ^circ C^-1 (constante).
a) Calcule seu volume na temperatura indicada, com a precisão adequada.
Agora, considere que o cilindro foi aquecido até 47,6^circ C.
b) Calcule as dimensões, diâmetro e altura, na nova temperatura.
c) Utilizando as dimensões do item (b), calcule o novo volume.
d) Utilizando o volume inicial do item (a), calcule o novo volume expandido e compare tanto com o volume inicial quanto com o volume expandido calculado no item ©.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro de cobre com certas dimensões a uma temperatura inicial de 23,4^circ C. Precisamos calcular o volume inicial, depois ver como as dimensões mudam quando a temperatura aumenta para 47,6^circ C, e finalmente comparar os volumes antes e depois do aquecimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria para calcular volumes e a teoria de expansão térmica linear para entender como as dimensões do cilindro mudam com a temperatura.

Passo 2

Vamos começar calculando o volume inicial do cilindro a 23,4^circ C. O volume V de um cilindro é dado pela fórmula:
V = pi ( d2 )^2 h
Onde:
  • d é o diâmetro
  • h é a altura
  • pi é uma constante (aproximadamente 3,1416)
Essa fórmula calcula a área da base circular do cilindro e multiplica pela altura para encontrar o volume total.

Passo 3

Primeiro, vamos converter as medidas de diâmetro e altura de milímetros para metros para facilitar os cálculos:
d = 12,45 , mm = 0,01245 , m
h = 51,5 , mm = 0,0515 , m
Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume:
V = pi ( 0,012452 )^2 times 0,0515

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos o raio ( r):
r = d2 = 0,012452 = 0,006225 , m
Agora, calculamos r^2:
r^2 = (0,006225)^2 = 0,00003876 , m^2
Em seguida, multiplicamos por pi:
pi times r^2 = 3,1416 times 0,00003876 approx 0,0001214 , m^2
Finalmente, multiplicamos pela altura h:
V = 0,0001214 times 0,0515 approx 0,00000625 , m^3
Para converter para centímetros cúbicos (pois 1 m³ = 1.000.000 cm³):
V approx 0,00000625 times 1.000.000 = 6,25 , cm^3

Passo 5

Então, o volume inicial do cilindro a 23,4^circ C é aproximadamente 6,25 , cm^3.

Passo 6

Agora, vamos calcular como as dimensões do cilindro, ou seja, diâmetro e altura, mudam quando a temperatura aumenta para 47,6^circ C. Para isso, usamos a fórmula da expansão linear:
De
Onde:
  • De é a variação na dimensão
  • alpha é o coeficiente de expansão linear
  • L0 é a dimensão inicial
  • De é a variação de temperatura
Como estamos lidando com o diâmetro e a altura, aplicaremos essa fórmula para ambas as dimensões.

Passo 7

Primeiro, calculamos a variação de temperatura:
De
O coeficiente de expansão linear dado é:
alpha = 17 times 10^-6 , ^circ C^-1

Passo 8

Vamos calcular a nova dimensão para o diâmetro:
De
De
Então, o novo diâmetro é:
dnovo = d0 + De
Convertendo para milímetros:
dnovo approx 12,45512 , mm

Passo 9

Agora, calculamos a nova dimensão para a altura:
De
De
Então, a nova altura é:
hnovo = h0 + De
Convertendo para milímetros:
hnovo approx 51,5212 , mm

Passo 10

Portanto, após o aquecimento até 47,6^circ C, o diâmetro do cilindro é aproximadamente 12,455 , mm e a altura é aproximadamente 51,521 , mm.

Passo 11

Agora, vamos usar essas novas dimensões para calcular o novo volume do cilindro à temperatura elevada. Usamos novamente a fórmula do volume:
Vnovo = pi ( dnovo2 )^2 hnovo
Primeiro, convertendo as medidas para metros:
dnovo = 12,455 , mm = 0,012455 , m
hnovo = 51,521 , mm = 0,051521 , m

Passo 12

Calculando o raio:
rnovo = dnovo2 = 0,0124552 = 0,0062275 , m
Calculando rnovo^2:
rnovo^2 = (0,0062275)^2 approx 0,00003866 , m^2
Multiplicando por pi:
pi times rnovo^2 approx 3,1416 times 0,00003866 approx 0,0001211 , m^2
Multiplicando pela nova altura:
Vnovo = 0,0001211 times 0,051521 approx 0,00000623 , m^3
Convertendo para centímetros cúbicos:
Vnovo approx 0,00000623 times 1.000.000 = 6,23 , cm^3

Passo 13

Então, o novo volume do cilindro a 47,6^circ C, calculado usando as novas dimensões, é aproximadamente 6,23 , cm^3.

Passo 14

Agora, vamos calcular o novo volume expandido usando o volume inicial e a expansão volumétrica. A expansão volumétrica para sólidos pode ser estimada pela fórmula:
De
Assim, o novo volume é:
Vexpandido = V0 + De
Onde:
  • V0 é o volume inicial
  • alpha é o coeficiente de expansão linear
  • De é a variação de temperatura

Passo 15

Substituindo os valores:
Vexpandido = 6,25 , cm^3 times (1 + 3 times 17 times 10^-6 times 24,2 )
Calculando o termo dentro dos parênteses:
3 times 17 times 10^-6 times 24,2 = 0,0012312
Então,
Vexpandido = 6,25 times (1 + 0,0012312) = 6,25 times 1,0012312 approx 6,2577 , cm^3

Passo 16

Portanto, o volume expandido calculado usando a expansão volumétrica é aproximadamente 6,258 , cm^3.

Passo 17

Agora, vamos comparar os valores:
  • Volume inicial: 6,25 , cm^3
  • Novo volume calculado com dimensões expandidas: 6,23 , cm^3
  • Novo volume expandido pela fórmula: 6,258 , cm^3
Observamos que há uma pequena diferença entre os cálculos, que pode ser devido a arredondamentos nas etapas anteriores. De forma geral, os resultados estão muito próximos, confirmando que as dimensões expandidas e a fórmula de expansão volumétrica estão consistentes.

Resposta

a) O volume inicial do cilindro a 23,4^circ C é aproximadamente 6,25 , cm^3.

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