Um anel de raio 0,5 \mathrm{~m} e massa 1,5 \mathrm{~kg} gira com velocidade angular de 10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
a) Calcule a energia cinética rotacional.
b) Compare com a energia cinética de uma partícula de mesma massa movendo-se linearmente à mesma velocidade na borda.

Passo 1

O enunciado nos dá um anel fino de massa 1,5\:\mathrm{kg} e raio 0,5\:\mathrm{m} girando com velocidade angular \omega = 10\:\mathrm{rad/s}. Vamos calcular a energia cinética rotacional do anel e em seguida comparar esse valor com a energia cinética de uma partícula pontual de mesma massa movendo-se linearmente com velocidade igual à velocidade tangencial na borda do anel.

Passo 2

O momento de inércia de um anel fino de massa m e raio r em torno de seu eixo central é dado por
I = m\,r^2.

Passo 3

A energia cinética rotacional é
E_{\text{rot}} = \tfrac12\,I\,\omega^2.
Substituindo I = m\,r^2, m = 1,5\:\mathrm{kg}, r = 0,5\:\mathrm{m} e \omega = 10\:\mathrm{rad/s}, temos
E_{\text{rot}} = \tfrac12 \times (1,5)(0,5)^2 \times (10)^2 = 18{,}75\:\mathrm{J}.

Passo 4

A velocidade tangencial na borda do anel é
v = \omega\,r = 10 \times 0,5 = 5\:\mathrm{m/s}.
A energia cinética de uma partícula pontual de massa m movendo-se com essa velocidade é
E_{\text{lin}} = \tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12 \times 1,5 \times (5)^2 = 18{,}75\:\mathrm{J}.

Resposta

a) E_{\text{rot}} = 18{,}75\:\mathrm{J}.
b) A mesma massa movendo-se linearmente na borda teria E_{\text{lin}} = 18{,}75\:\mathrm{J}, ou seja, energias idênticas.

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