Uma esfera maciça rola sem deslizar por um plano inclinado de altura h=1,2 \mathrm{~m}.
a) Determine a velocidade da esfera ao final da rampa.
b) Compare com a velocidade se a esfera deslizasse sem rolar (sem atrito).

Passo 1

O enunciado dá uma esfera maciça que rola sem deslizar a partir de uma altura h=1,2\\ \mathrm{m}. O conteúdo aqui é conservação de energia mecânica incluindo energia de rotação e a condição de não deslizamento \omega = v/R. Vamos usar: momento de inércia da esfera I=\tfrac{2}{5}mR^2 e equacionar energia potencial e cinética translaciona l+rotacional.

Passo 2

Conservação de energia entre o topo (tudo potencial) e o pé da rampa:
mgh = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 I \,\omega^2.
Substituindo I=\tfrac{2}{5}mR^2 e \omega=v/R:
mgh = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12\Bigl(\tfrac{2}{5}mR^2\Bigr)\Bigl(\tfrac{v}{R}\Bigr)^2 = \tfrac12 m v^2 + \tfrac{1}{5}m v^2 = \tfrac{7}{10}m v^2.
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v = \sqrt{\frac{10}{7}\,gh}.
Numericamente, com g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e h=1,2\\ \mathrm{m}:
v = \sqrt{\frac{10}{7}\times 9,8\times 1,2} = \sqrt{16{,}8}\approx 4{,}10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Se a esfera deslizasse sem rolar (sem atrito), toda energia viraria só energia cinética translacional:
mgh = \tfrac12m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2\,gh} = \sqrt{2\times9,8\times1,2} = \sqrt{23{,}52}\approx4{,}85\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Comparando, a velocidade no caso sem rolar \approx4{,}85\\ \mathrm{m/s} é maior que a do rolamento \approx4{,}10\\ \mathrm{m/s}, já que parte da energia vai para a rotação.

Resposta

(a) \displaystyle v = \sqrt{\tfrac{10}{7}gh}\approx4{,}10\\ \mathrm{m/s}.
(b) No deslizamento \displaystyle v = \sqrt{2gh}\approx4{,}85\\ \mathrm{m/s}, ou seja, maior que rodar sem deslizar.

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