Um anel de raio R=2.40 \mathrm{~cm} contém uma distribuição uniforme de carga, e o módulo do campo elétrico E resultante é medido ao longo do eixo central do anel (perpendicular ao plano do anel). A que distância do centro do anel o campo E é máximo?

Passo 1

O enunciado fala de um anel de raio R=2,40\:\mathrm{cm} com carga distribuída uniformemente e pede a distância x ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel em que o campo elétrico E atinge seu valor máximo. O conteúdo necessário é a expressão do campo no eixo de um anel carregado e o cálculo de máximo pela derivada.

Passo 2

O campo elétrico no eixo do anel, a uma distância x do centro, é dado por
E(x) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,x}{\bigl(R^{2}+x^{2}\bigr)^{3/2}}\,,
onde Q é a carga total do anel.

Passo 3

Para achar o máximo, derivamos E(x) em relação a x e igualamos a zero. Usando regra do quociente ou produto:
\frac{dE}{dx} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,Q\, \frac{(R^{2}+x^{2})^{3/2} - x\cdot\frac{3}{2}(R^{2}+x^{2})^{1/2}\cdot2x} {(R^{2}+x^{2})^{3}} =0.
O fator comum não nulo pode ser desprezado, sobrando
(R^{2}+x^{2}) - 3x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad R^{2} -2x^{2}=0.

Passo 4

Da equação R^{2}-2x^{2}=0 vem
x^{2} = \frac{R^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{R}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Substituindo R=2,40\:\mathrm{cm},
x = \frac{2,40\:\mathrm{cm}}{\sqrt{2}} \approx 1,70\:\mathrm{cm}.

Resposta

A distância em que E é máximo é
x = \frac{R}{\sqrt{2}}\approx1,70\:\mathrm{cm}.

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