Seja
a magnitude do campo num ponto P situado a uma distância
de um plano uniformemente carregado com densidade superficial de carga
. A maior contribuição para
provém dos pontos mais próximos de P sobre o plano. Mostre que a região do plano situada a uma distância
do ponto P é responsável pela metade (
) do campo em P .
Passo 1
Temos um plano infinito carregado com densidade superficial
, e um ponto
situado a uma distância
acima do plano. Queremos mostrar que a parte do plano cujos pontos estão a distância tridimensional
de
gera exatamente metade do campo elétrico total em
. Para isso vamos usar superposição: dividir o plano em anéis concêntricos de raio
e espessura
, calcular a contribuição de cada anel ao componente perpendicular do campo em
e depois integrar.
Passo 2
Considere um anel de raio
e largura
no plano. A carga contida nesse anel é
A distância de qualquer ponto do anel até
vale
O campo gerado por em
vale (usando
)
O campo gerado por
Passo 3
Integramos de
até um raio genérico
para obter o campo produzido pela região interna ao círculo de raio
:
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Como o campo total do plano infinito é
podemos escrever a fração do campo vindo de
como
Passo 4
Para que essa fração seja exatamente
, impomos
Ao quadrar,
, logo
Passo 5
Observe que os pontos desse círculo de raio
no plano estão exatamente à distância
do ponto
. Assim, a região do plano cujos pontos satisfazem
corresponde ao disco de raio
e produz metade do campo total em
.
Resposta
A região do plano cujos pontos estão a distância tridimensional
de
(isto é, o disco de raio
) gera exatamente metade do campo elétrico total em
.