Seja E a magnitude do campo num ponto P situado a uma distância D de um plano uniformemente carregado com densidade superficial de carga \sigma. A maior contribuição para E provém dos pontos mais próximos de P sobre o plano. Mostre que a região do plano situada a uma distância \leq 2 D do ponto P é responsável pela metade ( E / 2 ) do campo em P .

Passo 1

Temos um plano infinito carregado com densidade superficial \sigma, e um ponto P situado a uma distância D acima do plano. Queremos mostrar que a parte do plano cujos pontos estão a distância tridimensional \le2D de P gera exatamente metade do campo elétrico total em P. Para isso vamos usar superposição: dividir o plano em anéis concêntricos de raio r e espessura dr, calcular a contribuição de cada anel ao componente perpendicular do campo em P e depois integrar.

Passo 2

Considere um anel de raio r e largura dr no plano. A carga contida nesse anel é
dq = \sigma \,dA = \sigma\,(2\pi r\,dr).
A distância de qualquer ponto do anel até P vale \ell = \sqrt{r^2 + D^2}.
O campo gerado por dq em P vale (usando k = 1/(4\pi\varepsilon_0))
d\mathbf{E} = k\,\frac{dq}{\ell^2}\,\hat{\mathbf{r}}_{\!PQ} \quad\Longrightarrow\quad dE_z = k\,\frac{dq}{\ell^2}\,\frac{D}{\ell} = k\,\frac{\sigma\,(2\pi r\,dr)\,D}{(r^2+D^2)^{3/2}}.

Passo 3

Integramos de r=0 até um raio genérico R para obter o campo produzido pela região interna ao círculo de raio R:
E(R) = \int_{0}^{R} dE_z = k\,\sigma\,2\pi D \int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^2+D^2)^{3/2}}.
Fazendo a substituição u = r^2 + D^2, du = 2r\,dr, obtemos
E(R) = k\,\sigma\,2\pi D\;\frac12 \int_{u=D^2}^{u=R^2+D^2}u^{-3/2}\,du = k\,\sigma\,2\pi D\Bigl[\,-u^{-1/2}\Bigr]_{D^2}^{R^2+D^2}
= k\,\sigma\,2\pi D\Bigl(\frac1{\sqrt{D^2}} - \frac1{\sqrt{R^2+D^2}}\Bigr) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \frac{D}{\sqrt{R^2+D^2}}\Bigr).
Como o campo total do plano infinito é
E_{\rm total} = \lim_{R\to\infty}E(R) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
podemos escrever a fração do campo vindo de r\le R como
\frac{E(R)}{E_{\rm total}} = 1 - \frac{D}{\sqrt{R^2+D^2}}.

Passo 4

Para que essa fração seja exatamente 1/2, impomos
1 - \frac{D}{\sqrt{R^2+D^2}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{D}{\sqrt{R^2+D^2}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{R^2+D^2} = 2D.
Ao quadrar, R^2 + D^2 = 4D^2, logo
R = \sqrt{3}\,D.

Passo 5

Observe que os pontos desse círculo de raio R=\sqrt{3}\,D no plano estão exatamente à distância
\ell = \sqrt{r^2 + D^2} = \sqrt{(\sqrt{3}\,D)^2 + D^2} = \sqrt{4D^2} = 2D
do ponto P. Assim, a região do plano cujos pontos satisfazem \ell \le 2D corresponde ao disco de raio r\le\sqrt{3}\,D e produz metade do campo total em P.

Resposta

A região do plano cujos pontos estão a distância tridimensional \le 2D de P (isto é, o disco de raio r=\sqrt{3}\,D) gera exatamente metade do campo elétrico total em P.

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