Duas partículas, ambas com uma carga de valor absoluto 12 nC , ocupam dois vértices de um triângulo equilátero com 2.0 m de lado. Determine o módulo do campo elétrico no terceiro vértice (a) se as duas cargas forem positivas e (b) se uma das cargas for positiva e a outra for negativa.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo equilátero de lado 2{,}0\\ \text{m} cujos vértices são A, B e C. Nas partes (a) e (b) há duas cargas de módulo 12\\ \text{nC} nos vértices A e B, e queremos o módulo do campo elétrico resultante no vértice C. O conteúdo usado será o campo de uma carga pontual e o princípio da superposição vetorial.

Passo 2

O campo elétrico gerado por cada carga pontual de módulo q=12\times10^{-9}\\ \text{C} a uma distância r=2{,}0\\ \text{m} é
E = \frac{k\,q}{r^2}
com k=8{,}99\times10^9\\ \text{N\cdotm}^2/\text{C}^2. Logo,
E = \frac{8{,}99\times10^9 \cdot 12\times10^{-9}}{(2{,}0)^2} = \frac{8{,}99\times12}{4} \approx 26{,}97\\ \text{N/C}.

Passo 3

(a) Se as duas cargas são positivas, cada vetor campo em C aponta para fora de A e de B. Esses dois vetores têm módulo E e formam um ângulo de 60^\circ entre si (ângulo interno do triângulo). O módulo da soma de dois vetores iguais que fazem ângulo \theta é
E_{\rm res} = 2E\cos\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).
Aqui \theta=60^\circ, então
E_{\rm res} = 2E\cos 30^\circ = 2E\cdot\frac{\sqrt3}{2} = E\sqrt3 \approx 26{,}97\times1{,}732 \approx 46{,}7\\ \text{N/C}.

Passo 4

(b) Se uma carga é positiva e a outra negativa, no ponto C o campo devido à carga positiva aponta para fora dela (direção A\to C) e o campo devido à carga negativa aponta em direção à carga (direção C\to B). Esses vetores têm o mesmo módulo E e formam agora um ângulo de 120^\circ entre si. O módulo da soma é
E_{\rm res} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2E^2\cos120^\circ} = \sqrt{2E^2 - E^2} = E \approx 26{,}97\\ \text{N/C}.

Resposta

(a) 46{,}7\\ \text{N/C}
(b) 26{,}97\\ \text{N/C}

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