Um anel tem um raio interno \rho_{0} e um raio externo \rho_{0}+ C. Existe uma densidade superficial de carga uniforme \sigma no anel. Determine o potencial elétrico no centro do anel. O resultado depende de \rho_{0} ?

Passo 1

O enunciado descreve um anel plano com raio interno \rho_{0} e raio externo \rho_{0}+C, carregado com densidade superficial de carga uniforme \sigma. Queremos o potencial elétrico V no centro do anel. O conteúdo para resolver é o cálculo de potencial de uma distribuição superficial usando
V=\int \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r}\,.

Passo 2

Escolhemos coordenadas polares no plano do anel. Um elemento de área é
dA=\rho\,d\rho\,d\varphi\,,
e a carga desse elemento é dq=\sigma\,dA. A distância do elemento ao centro é r=\rho.

Passo 3

O potencial diferencial no centro devido a dq é
\!dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\sigma\,\rho\,d\rho\,d\varphi}{\rho} =\frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_{0}}\,d\rho\,d\varphi.

Passo 4

Integramos \varphi de 0 a 2\pi:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi,
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\!V=\frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_{0}}\;2\pi\int_{\rho_{0}}^{\rho_{0}+C}d\rho =\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\int_{\rho_{0}}^{\rho_{0}+C}d\rho.

Passo 5

A integral em \rho de \rho_{0} a \rho_{0}+C é simplesmente C. Portanto
\!V=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,C.
Observe que \rho_{0} desapareceu do resultado.

Resposta

\boxed{V=\frac{\sigma\,C}{2\varepsilon_{0}}\quad\text{(independe de }\rho_{0}\text{).}}

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