Calcule o campo elétrico associado com o potencial elétrico:
V=\frac{a \cdot \cos \theta}{r^{2}}+\frac{b}{r} .

Passo 1

O enunciado dá o potencial em coordenadas esféricas
V = \frac{a\cos\theta}{r^2} + \frac{b}{r}
e pede o campo elétrico associado. O campo elétrico é dado por
\mathbf{E} = -\nabla V
Logo, vamos usar a expressão do gradiente em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), o gradiente de V é
\nabla V = \frac{\partial V}{\partial r}\,\hat r + \frac{1}{r}\,\frac{\partial V}{\partial \theta}\,\hat \theta + \frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial V}{\partial \varphi}\,\hat \varphi.
Como V não depende de \varphi, teremos \partial V/\partial \varphi=0.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a r:
\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\Bigl(\frac{a\cos\theta}{r^2} + \frac{b}{r}\Bigr) = -\frac{2a\cos\theta}{r^3} - \frac{b}{r^2}.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial em relação a \theta:
\frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\Bigl(\frac{a\cos\theta}{r^2}\Bigr) = -\frac{a\sin\theta}{r^2}.

Passo 5

Agora montamos \mathbf{E}=-\nabla V. As componentes são
E_r = -\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2a\cos\theta}{r^3} + \frac{b}{r^2}, \quad E_\theta = -\frac{1}{r}\,\frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{a\sin\theta}{r^3}, \quad E_\varphi = 0.

Resposta

\mathbf{E} = \Bigl(\frac{2a\cos\theta}{r^3} + \frac{b}{r^2}\Bigr)\hat r + \frac{a\sin\theta}{r^3}\,\hat \theta.

Exercícios relacionados