Uma esfera isolante de raio R está carregada com uma densidade de carga volumétrica \rho=\left\{\begin{array}{cr}C r^{3}, & r<R \\\\ 0, & r>R\end{array}\right., onde C é uma constante e r é a distância até o centro da esfera.
(a) Qual a unidade da constante C ?
(b) Calcule a carga total Q da esfera em termos de C.
(c) Use a lei de Gauss para calcular o campo elétrico em todo o espaço.
(d) Use a definição de potencial elétrico, dada pela integral do campo elétrico, par calcular o potencial elétrico V em todo o espaço. Deixe sua resposta em termos de Q e assuma que V(\infty)=0 \mathrm{~V}.
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera isolante de raio R\) com densidade volumétrica de carga
\[\rho(r)= \begin{cases} C\,r^{3},&r<R,\\\\ 0,&r>R, \end{cases}
onde C\] é uma constante. Vamos precisar de
1. Analisar unidades a partir de \(\rho=C\,r^3.
2. Calcular a carga total pela integral volumétrica Q=\int \rho\,\rd V.
3. Empregar a lei de Gauss para obter \mathbf{E}(r).
4. Integrar \mathbf{E} para achar o potencial V(r) com a condição V(\infty)=0.
Passo 2
Para achar a unidade de C, note que \rho tem unidade de carga por volume, isto é, \mathrm{C}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-3}. Como \rho=C\,r^3, temos