Uma esfera isolante de raio R está carregada com uma densidade de carga volumétrica \rho=\left\{\begin{array}{cr}C r^{3}, & r<R \\\\ 0, & r>R\end{array}\right., onde C é uma constante e r é a distância até o centro da esfera.
(a) Qual a unidade da constante C ?
(b) Calcule a carga total Q da esfera em termos de C.
(c) Use a lei de Gauss para calcular o campo elétrico em todo o espaço.
(d) Use a definição de potencial elétrico, dada pela integral do campo elétrico, par calcular o potencial elétrico V em todo o espaço. Deixe sua resposta em termos de Q e assuma que V(\infty)=0 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera isolante de raio R\) com densidade volumétrica de carga \[\rho(r)= \begin{cases} C\,r^{3},&r<R,\\\\ 0,&r>R, \end{cases}
onde C\] é uma constante. Vamos precisar de 1. Analisar unidades a partir de \(\rho=C\,r^3.
2. Calcular a carga total pela integral volumétrica Q=\int \rho\,\rd V.
3. Empregar a lei de Gauss para obter \mathbf{E}(r).
4. Integrar \mathbf{E} para achar o potencial V(r) com a condição V(\infty)=0.

Passo 2

Para achar a unidade de C, note que \rho tem unidade de carga por volume, isto é, \mathrm{C}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-3}. Como \rho=C\,r^3, temos
[C]=\frac{[\rho]}{[r^3]} =\frac{\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}}{\mathrm{m}^{3}} =\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-6}.

Passo 3

A carga total Q é
Q=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^2\,\rd r =4\pi C\int_{0}^{R}r^5\,\rd r =4\pi C\;\frac{R^6}{6} =\frac{2\pi C\,R^6}{3}.

Passo 4

Para r<R, o gaussiano esférico de raio r encerra
Q_{\rm int}(r) =\int_{0}^{r}C\,r'^3\,4\pi r'^2\,\rd r' =4\pi C\;\frac{r^6}{6} =\frac{2\pi C\,r^6}{3}.
Pela lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^2 =\frac{Q_{\rm int}(r)}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2\pi C\,r^6/3}{r^2} =\frac{C\,r^4}{6\,\varepsilon_0}.

Passo 5

Para r>R, toda a carga Q está dentro do gaussiano, então
E(r)\,4\pi r^2 =\frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^2}.

Passo 6

Para r>R, o potencial é
V(r)=-\int_{\infty}^{r}E(r')\,\rd r' =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r}.

Passo 7

Para r<R, começamos de V(R)=Q/(4\pi\varepsilon_0 R) e integramos para r:
\Delta V =-\int_{R}^{r}\frac{C\,r'^4}{6\varepsilon_0}\,\rd r' =-\frac{C}{6\varepsilon_0}\,\frac{r^5-R^5}{5} =-\frac{C\,(r^5-R^5)}{30\varepsilon_0}.
Assim
V(r) =V(R)+\Delta V =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} -\frac{C\,(r^5-R^5)}{30\varepsilon_0}.
Em termos de Q (usando C=3Q/(2\pi R^6)), fica
V(r)=\frac{Q}{20\pi\varepsilon_0 R^6}\bigl(6R^5-r^5\bigr).

Resposta

(a) [C]=\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-6}.
(b) Q=\dfrac{2\pi C\,R^6}{3}.
(c)
E(r)= \begin{cases} \dfrac{C\,r^4}{6\,\varepsilon_0}\,\hat r,&r<R,\\[6pt] \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q}{r^2}\,\hat r,&r>R. \end{cases}
(d)
V(r)= \begin{cases} \dfrac{Q}{20\pi\varepsilon_0 R^6}\bigl(6R^5-r^5\bigr),&r<R,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r},&r>R. \end{cases}]

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