Um campo eletrostático tem como potencial elétrico
, onde
e
são constantes. (a) Encontre o campo elétrico, (b) Qual a forma das superfícies equipotenciais se i)
.
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
com
e
constantes, e pede:
(a) o campo elétrico associado, sabendo que em eletrostática
;
(b) a forma geométrica das superfícies equipotenciais nos casos (i)
e (ii)
.
(a) o campo elétrico
(b) a forma geométrica das superfícies equipotenciais
Passo 2
Calcular o gradiente de
. As derivadas parciais são
Logo, pelo fato de
, temos
Passo 3
Escrever a equação geral de uma equipotencial
. Basta impor
onde
é a constante de potencial escolhida.
Passo 4
Classificação para
e
. Nesse caso todos os coeficientes são positivos e a equação
é a de um elipsoide de revolução (ou esferoide) centrado na origem, fechado e simétrico em relação ao eixo
.
Passo 5
Classificação para
e
. Escrevendo
e chamando
, temos
Essa é a forma geral de um hiperbóloide de uma folha (quando
). Se
, a troca de sinal leva a
que é um hiperbóloide de duas folhas. No caso especial
surge um cone duplo.
Resposta
(a)
(b)
i) Para : as superfícies
são elipsoides de revolução.
ii) Para : as superfícies
são hiperbóloides de uma folha se
(de duas folhas se
, e cone duplo se
).
i) Para
ii) Para