Um campo eletrostático tem como potencial elétrico V(x, y, z)=a\left(x^{2}+y^{2}\right)+b z^{2}, onde a e b são constantes. (a) Encontre o campo elétrico, (b) Qual a forma das superfícies equipotenciais se i) a>0, b>0, i i) a>0, b<0.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=a\bigl(x^2+y^2\bigr)+b\,z^2
com a e b constantes, e pede:
(a) o campo elétrico \mathbf{E} associado, sabendo que em eletrostática \mathbf{E}=-\nabla V;
(b) a forma geométrica das superfícies equipotenciais V(x,y,z)=V_0 nos casos (i) a>0,b>0 e (ii) a>0,b<0.

Passo 2

Calcular o gradiente de V. As derivadas parciais são
\frac{\partial V}{\partial x}=2ax,\quad \frac{\partial V}{\partial y}=2ay,\quad \frac{\partial V}{\partial z}=2bz.
Logo, pelo fato de \mathbf{E}=-\nabla V, temos
\mathbf{E}(x,y,z) = -\bigl(2ax\,\hat{\mathbf{i}} + 2ay\,\hat{\mathbf{j}} + 2bz\,\hat{\mathbf{k}}\bigr) = -2a\,x\,\hat{\mathbf{i}} \;-\;2a\,y\,\hat{\mathbf{j}} \;-\;2b\,z\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 3

Escrever a equação geral de uma equipotencial V=V_0. Basta impor
a\bigl(x^2+y^2\bigr)+b\,z^2 = V_0,
onde V_0 é a constante de potencial escolhida.

Passo 4

Classificação para a>0 e b>0. Nesse caso todos os coeficientes são positivos e a equação
\frac{x^2+y^2}{V_0/a} + \frac{z^2}{V_0/b} = 1
é a de um elipsoide de revolução (ou esferoide) centrado na origem, fechado e simétrico em relação ao eixo z.

Passo 5

Classificação para a>0 e b<0. Escrevendo b=-|b| e chamando \tilde V_0=V_0/(V_0/a), temos
\frac{x^2+y^2}{V_0/a} \;-\;\frac{z^2}{V_0/|b|} = 1.
Essa é a forma geral de um hiperbóloide de uma folha (quando V_0>0). Se V_0<0, a troca de sinal leva a
-\frac{x^2+y^2}{|V_0|/a} + \frac{z^2}{|V_0|/|b|} = 1,
que é um hiperbóloide de duas folhas. No caso especial V_0=0 surge um cone duplo.

Resposta

(a)
\mathbf{E}(x,y,z) = -2a\,x\,\hat{\mathbf{i}} \;-\;2a\,y\,\hat{\mathbf{j}} \;-\;2b\,z\,\hat{\mathbf{k}}.
(b)
i) Para a>0,b>0: as superfícies V=V_0 são elipsoides de revolução.
ii) Para a>0,b<0: as superfícies V=V_0 são hiperbóloides de uma folha se V_0>0 (de duas folhas se V_0<0, e cone duplo se V_0=0).

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