Quantas operações diferentes é possível definir em um conjunto
que tenha exatamente n elementos? Entre essas operações, quantas são comutativas?
Passo 1
O enunciado pede para contar quantas operações binárias diferentes podem ser definidas num conjunto
com exatamente
elementos e, dentre elas, quantas satisfazem a propriedade de comutatividade. O conteúdo usado será a combinatória de funções, pois uma operação binária é simplesmente uma função de
em
.
Passo 2
Uma operação binária em
é uma função
Como
, o conjunto
tem
elementos. Para cada um desses
pares ordenados podemos escolher livremente uma imagem em um dos
elementos de
. Logo, o número total de operações possíveis é
Passo 3
Para que a operação seja comutativa precisamos que
Isso significa que só precisamos definir a imagem nos pares ordenados
com
(ou seja, nos pares não ordenados com repetição). O número de tais pares é o número de combinações com repetição de
elementos tomados 2 a 2, que é
Em cada um desses
pares podemos escolher um dos
valores de saída, de modo que o total de operações comutativas é
Resposta
Total de operações:
Total de operações comutativas:
Total de operações comutativas: