Dada a função de demanda \mathrm{p}=20-2 \mathrm{x} e a função custo \mathrm{C}=5+\mathrm{x}
a) Obtenha o valor de x que maximiza a Receita
b) Obtenha o valor de x que maximiza o Lucro

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda p(x)=20-2x e o custo total C(x)=5+x.
Queremos (a) achar x que maximiza a receita e (b) achar x que maximiza o lucro.
Para isso vamos usar cálculo diferencial: montamos a função objetivo (receita ou lucro), calculamos sua derivada, igualamos a zero e verificamos que temos um máximo (segunda derivada negativa).

Passo 2

Montamos a receita R(x) como preço vezes quantidade:
R(x)=p(x)\cdot x=(20-2x)\,x=20x-2x^2.
Derivando em relação a x:
R'(x)=20-4x.
Igualando a zero para extremar:
20-4x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=5.
A segunda derivada é R''(x)=-4<0, confirmando que x=5 é máximo de R.

Passo 3

Definimos o lucro \pi(x) como receita menos custo:
\pi(x)=R(x)-C(x)=(20x-2x^2)-(5+x)=-2x^2+19x-5.
Derivando:
\pi'(x)=-4x+19.
Igualando a zero:
-4x+19=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{19}{4}=4{,}75.
Como \pi''(x)=-4<0, esse ponto é máximo de \pi.

Resposta

a) x=5
b) x=\tfrac{19}{4}

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