1. O ângulo alpha entre duas curvas c1 e c2 em um ponto p=c1 cap c2 é definido como sendo o ângulo entre as retas tangentes a c1 e c2 em p. Podemos encontrar tal ângulo alpha usando o fato de que tg alpha=m2-m11+m2 m1, onde m1 e m2 são os coeficientes angulares das retas tangentes. De posse dessas informações encontre os ângulos entre as curvas x^2-y^2=3 e x^2-4 x+y^2+3=0 nos pontos de intersecção dessas curvas.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo alpha entre as curvas
c1colon x^2 - y^2 = 3
e
c2colon x^2 - 4x + y^2 + 3 = 0
no ponto de interseção, usando a fórmula
tanalpha = m2 - m11 + m1 m2,
onde m1 e m2 são os coeficientes angulares das retas tangentes a c1 e c2, respectivamente. Para isso precisamos:
  1. achar m1 e m2 por diferenciação implícita;
  2. determinar os pontos de interseção;
  3. avaliar m1, m2 nesses pontos e calcular alpha.

Passo 2

Diferenciando implicitamente c1colon x^2 - y^2 = 3 em relação a x temos
2x - 2y,y' = 0 Longrightarrow y' = xy,
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m1 = xy
Para c2colon x^2 - 4x + y^2 + 3 = 0 obtemos
2x - 4 + 2y,y' = 0 Longrightarrow y' = 4 - 2x2y = 2 - xy,
portanto
m2 = 2 - xy

Passo 3

Para achar as interseções, escrevemos de c1 que y^2 = x^2 - 3 e substituímos em c2:
x^2 - 4x + (x^2 - 3) + 3 = 0 Longrightarrow 2x^2 - 4x = 0 Longrightarrow 2x(x-2)=0
A solução real é x=2, pois x=0 daria y^2=-3. Então
y^2 = 2^2 - 3 = 1 Longrightarrow y = pm 1
Os pontos de interseção são (2,1) e (2,-1).

Passo 4

Em (2,1) temos
m1 = 21 = 2, m2 = 2-21 = 0 Longrightarrow tanalpha = 0 - 21 + 2cdot0 = -2 Longrightarrow alpha = arctan(2)
Em (2,-1) vem
m1 = 2-1 = -2, m2 = 2-2-1 = 0 Longrightarrow tanalpha = 0 - (-2)1 + (-2)cdot0 = 2 Longrightarrow alpha = arctan(2)
Em ambos os pontos o ângulo agudo entre as tangentes é o mesmo.

Resposta

alpha = arctan(2)approx 63,43^circ em cada ponto de interseção.

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