(*) O ângulo descrito por uma roda de bicicleta girando é dado por \theta(t)=a+b t^{2}-c t^{3}, onde a, b e c são constantes positivas tais que se t for dado em segundos, \theta deve ser medido em radianos.
(a) Calcule a aceleração angular da roda em função do tempo.
\mathrm{R}: \alpha(t)=2 b-6 c t
(b) Em que instantes a velocidade angular instantânea da roda é nula?
\mathrm{R}: t=0 e t=\frac{2 b}{3 c}

Passo 1

O enunciado dá o ângulo de uma roda em função do tempo
\theta(t)=a + b\,t^{2} - c\,t^{3}
com a, b e c constantes positivas.
O conteúdo aqui é derivadas: a velocidade angular é \omega(t)=\theta'(t) e a aceleração angular é \alpha(t)=\omega'(t)=\theta''(t). Também vamos precisar resolver \omega(t)=0 para achar os instantes em que a velocidade se anula.

Passo 2

Calculamos a velocidade angular derivando \theta(t):
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(a + b\,t^{2} - c\,t^{3}\bigr) =2\,b\,t \;-\;3\,c\,t^{2}.

Passo 3

Agora derivamos \omega(t) para obter a aceleração angular:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(2\,b\,t - 3\,c\,t^{2}\bigr) =2\,b \;-\;6\,c\,t.

Passo 4

Para achar os instantes em que a velocidade angular se anula, resolvemos
\omega(t)=2\,b\,t - 3\,c\,t^{2}=0.
Fatorando t:
t\,(2\,b - 3\,c\,t)=0
dá as soluções
t=0 \quad\text{e}\quad t=\frac{2\,b}{3\,c}.

Resposta

(a) \alpha(t)=2\,b - 6\,c\,t
(b) t=0 e t=\dfrac{2\,b}{3\,c}

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