Questão#3: Um circuito RLC em série consiste de uma fonte com amplitude de \xi=124 \mathrm{~V} e frequência angular \omega=50,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, um resistor R=400,0 \Omega, um indutor L=8,0 \mathrm{H} e um capacitor C. (i) Para qual valor de C a amplitude de de voltagem através do indutor L ? máxima?
(i) C=
(ii) V_{L}=

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RLC série alimentado por uma fonte de amplitude \xi=124 V e frequência angular \omega=50 rad/s, com R=400, \Omega, L=8, H e capacitância C desconhecida. Queremos achar (i) o valor de C que maximiza a amplitude da tensão no indutor L e (ii) essa tensão máxima V_L. Vamos usar a análise fasorial, escrevendo a corrente e a tensão no indutor em função de C.

Passo 2

A impedância do circuito é
Z = R + j\bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\bigr)
logo a amplitude da corrente é
I = \frac{\xi}{\bigl|Z\bigr|} = \frac{\xi}{\sqrt{R^2 + \bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\bigr)^2}}.
A tensão no indutor tem amplitude
V_L = I\;\omega L = \frac{\xi\,\omega L}{\sqrt{R^2 + \bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\bigr)^2}}.

Passo 3

Para maximizar V_L em função de C, basta minimizar o denominador, isto é,
R^2 + \Bigl(\omega L - \tfrac{1}{\omega C}\Bigr)^2
atinge mínimo quando
\omega L - \tfrac{1}{\omega C} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \omega L = \tfrac{1}{\omega C} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{\omega^2\,L}.
Substituindo \omega=50 rad/s e L=8 H,
C = \frac{1}{50^2 \times 8} = \frac{1}{20000} = 5{,}0\times10^{-5}\,\text{F}.

Passo 4

Nesse ponto o circuito está em ressonância série, a impedância é puramente R e a corrente é
I_{\rm res} = \frac{\xi}{R}.
A tensão máxima no indutor vale então
V_L = I_{\rm res}\,\omega L = \frac{\xi}{R}\,\omega L = \frac{124}{400}\times(50\times8) =124\;\text{V}.

Resposta

(i) C = 5{,}0\times10^{-5}\,\text{F}
(ii) V_{L} = 124\,\text{V}

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