(*) Uma mesa giratória grande gira em torno de um eixo vertical fixo, fazendo uma revolução em 6,00 \mathrm{~s}. O momento de inércia da mesa giratória em torno desse eixo é igual a 1200 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}. Uma criança com massa de 40,0 \mathrm{~kg}, que estava inicialmente em repouso no centro da mesa, começa a correr ao longo de um raio. Qual é a velocidade angular da mesa giratória quando a criança está a uma distância de 2,00 \mathrm{~m} do centro? (Suponha que a criança possa ser considerada uma partícula).

Passo 1

O enunciado descreve uma mesa giratória de momento de inércia I_{\rm mesa}=1200\\ \mathrm{kg\,m^2} que faz uma volta em T=6,00\\ \mathrm{s}. Uma criança de massa m=40,0\\ \mathrm{kg} parte do centro ( r=0) e corre até r=2,00\\ \mathrm{m}. Como não há torque externo, a quantidade de movimento angular se conserva. Vamos usar as fórmulas de momento de inércia de partícula e conservação de momento angular.

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade angular inicial da mesa:
\omega_0 = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{6,00\\ \mathrm{s}} = \frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

O momento angular inicial é dado por
L_0 = I_{\rm mesa}\,\omega_0 = 1200\\ \mathrm{kg\,m^2}\times\frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s} = 400\pi\\ \mathrm{kg\,m^2/s}.

Passo 4

Quando a criança chega a r=2,00\\ \mathrm{m}, seu momento de inércia em relação ao eixo é
I_{\rm criança} = m\,r^2 = 40,0\\ \mathrm{kg}\times(2,00\\ \mathrm{m})^2 = 160\\ \mathrm{kg\,m^2}.ç
O momento de inércia total passa a ser
I_f = I_{\rm mesa} + I_{\rm criança} = 1200 + 160 = 1360\\ \mathrm{kg\,m^2}.ç

Passo 5

Pela conservação do momento angular, L_0 = I_f\,\omega_f. Logo,
\omega_f = \frac{L_0}{I_f} = \frac{400\pi}{1360} = \frac{5\pi}{17}\\ \mathrm{rad/s} \approx 0,924\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

A velocidade angular da mesa quando a criança está a 2,00\\ \mathrm{m} do centro é aproximadamente
\omega_f \approx 0,924\\ \mathrm{rad/s}.

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