3 (6 pontos) Uma película de plástico com índice de refração 1,72 é colocada nos vidros das janelas de um carro para aumentar a refletividade e manter o interior do carro mais frio. O índice de refração do vidro da janela é 1,56 .
(a) Qual é a espessura mínima da película para se obter reflexão máxima para luz de comprimento de onda de 520 nm ? (b) É difícil fabricar uma película com a espessura calculada no ítem anterior. Qual deve ser a próxima espessura mais grossa para que se produza uma nova interferência construtiva?
(a) (A) 101 nm, (B) 75,6 \mathrm{~nm}, (C) 130 nm, (D) 155 nm, (E) 66,8 \mathrm{~nm}, (F) 144 nm, (G) 90,4 \mathrm{~nm}, (H) 84,6 \mathrm{~nm}, (I) 95,1 \mathrm{~nm}, (J) 137 nm ,

Passo 1

O enunciado diz que temos uma película de plástico de índice de refração n_1=1,72 sobre um substrato de vidro de índice n_2=1,56, com ar ( n_0\approx1) acima. Queremos máxima reflexão para luz de comprimento de onda no vácuo \lambda_0=520\;\mathrm{nm}. O conteúdo é interferência em filmes finos: vamos usar as condições de fase nas reflexões e o caminho óptico na película para achar a espessura.

Passo 2

Quando um feixe incide normalmente, ele reflete na face ar–filme e depois na face filme–vidro, sofredo:
– na primeira interface ( n_0\to n_1) ocorre inversão de fase ( \pi);
– na segunda ( n_1\to n_2 com n_2<n_1) não há inversão.
O desfasamento devido ao caminho óptico na película (ida e volta) vale
\delta_{\text{caminho}}=\frac{2\pi}{\lambda_0}\,2n_1 d = \frac{4\pi n_1 d}{\lambda_0}.
O desfasamento total entre as duas ondas refletidas é
\delta_{\text{total}} = \delta_{\text{caminho}} + \pi.
Para interferência construtiva (reflexão máxima) queremos
\delta_{\text{total}} = 2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
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\frac{4\pi n_1 d}{\lambda_0} + \pi = 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad 4\,n_1\,d = (2k-1)\,\lambda_0 \quad\Longrightarrow\quad d=\frac{(2k-1)\,\lambda_0}{4\,n_1}.

Passo 3

A menor espessura não nula corresponde a k=1:
d_{\min} = \frac{\lambda_0}{4\,n_1}.

Passo 4

Substituindo \lambda_0=520\;\mathrm{nm} e n_1=1,72:
d_{\min} = \frac{520}{4\times1{,}72}\;\mathrm{nm} \approx 75{,}6\;\mathrm{nm}.
Entre as alternativas dadas para (a), isso é a opção (B) 75,6 nm.

Passo 5

Para a “próxima” espessura mais grossa basta usar k=2:
d_{2} = \frac{3\,\lambda_0}{4\,n_1} = \frac{3\times520}{4\times1{,}72}\;\mathrm{nm} \approx 226,7\;\mathrm{nm}.

Resposta

(a) 75{,}6\;\mathrm{nm} (opção B)
(b) 226{,}7\;\mathrm{nm}

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