Qual é:
O ângulo e a interseção das retas 3 x-4 y=24 e lx=3 t+2 y=-4 t+8, t in R ?

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas e o ponto de interseção delas. A reta
e a reta em forma paramétrica
Para resolver precisamos (a) achar o ponto comum, substituindo a parametrização de , e (b) determinar o ângulo usando os vetores diretores de cada reta e o produto escalar.

Passo 2

Substituímos x=3t+2 e y=-4t+8 em 3x-4y=24:
3(3t+2) - 4(-4t+8) = 24
Isso dá
9t + 6 + 16t - 32 = 24 Longrightarrow 25t - 26 = 24 Longrightarrow 25t = 50 Longrightarrow t = 2
Logo o ponto de interseção é
x = 3cdot 2 + 2 = 8, y = -4cdot 2 + 8 = 0,
isto é, (8,0).

Passo 3

Agora extraímos os vetores diretores. Para L2 fica imediato
d2 = (3,,-4)
Para L1, o vetor normal é n1=(3,-4), logo um vetor diretor d1 satisfaz n1cdot d1=0. Escolhemos
d1 = (4,3),
pois 3cdot 4 + (-4)cdot 3 = 0.

Passo 4

O ângulo phi entre as retas é o mesmo entre d1 e d2, dado por
cosphi = |d1 cdot d2||d1|;|d2|
Calculamos
d1cdot d2 = 4cdot 3 + 3cdot(-4) = 12 - 12 = 0,
logo cosphi = 0 e phi = 90^circ.

Resposta

Ângulo entre as retas: 90^circ.
Ponto de interseção: (8,0).

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