Determine a equação da parábola dado que:
O foco é o ponto F=(p, b) e a diretriz a reta x+p=0, considerandose p>0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é
F = (p,b)
e cuja diretriz é a reta
x + p = 0(ie, x=-p),
sabendo que p>0.
O conteúdo que vamos usar é a definição de parábola: o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que a distância ao foco é igual à distância à diretriz.

Passo 2

Para um ponto genérico (x,y) da parábola, a distância até o foco F é
d( (x,y),F ) = raiz(x - p)^2 + (y - b)^2
A distância do mesmo ponto à reta diretriz x=-p é
dl((x,y),x=-pr) = l|x -(-p)r| = |x + p|

Passo 3

Pela definição de parábola, igualamos essas distâncias:
raiz(x - p)^2 + (y - b)^2 = |x + p|
Elevando ao quadrado, fica
(x - p)^2 + (y - b)^2 = (x + p)^2
Agora expandimos e simplificamos:
x^2 - 2px + p^2 + y^2 - 2by + b^2 = x^2 + 2px + p^2
Cancelando x^2 e p^2 em ambos os lados e recolhendo termos em x, obtemos
y^2 - 2by + b^2 = 4p,x

Passo 4

Reconhecendo que y^2 - 2by + b^2 = (y - b)^2, a equação final da parábola fica
(y - b)^2 = 4p,x

Resposta

(y - b)^2 = 4p,x

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