Qual é o ângulo entre:
Os planos x+y+raiz7 z=3 e -x+raiz7 z=1 ?

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os planos x + y + raiz7,z = 3 e -x + raiz7,z = 1. Para resolver, vamos usar o conceito de vetor normal a um plano, o produto escalar desses vetores e o cálculo de suas normas.

Passo 2

Identificamos os vetores normais a cada plano a partir dos coeficientes de x, y e z.
Para o plano x + y + raiz7,z = 3 temos
n1 = (1,,1,,raiz7).
Para o plano -x + raiz7,z = 1 temos
n2 = (-1,,0,,raiz7).

Passo 3

Calculamos o produto escalar entre n1 e n2:
n1 cdot n2 = 1cdot(-1) + 1cdot 0 + raiz7cdotraiz7 = -1 + 0 + 7 = 6

Passo 4

Agora as normas de cada vetor:
|n1| = raiz1^2 + 1^2 + (raiz7)^2 = raiz1 + 1 + 7 = 3,
|n2| = raiz(-1)^2 + 0^2 + (raiz7)^2 = raiz1 + 0 + 7 = 2raiz2

Passo 5

Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo theta entre os planos, que é o mesmo ângulo entre os vetores normais:
costheta = l|n1 cdot n2r| |n1|;|n2| = 63cdot 2raiz2 = 1raiz2
Logo,
theta = arccos!l(tfrac1raiz2r) = 45^circ

Resposta

O ângulo entre os planos é 45^circ.

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