O ângulo entre a reta r: X=(1,2,3)+\lambda(2,-1,3), \lambda \in \mathbb{R} e o plano \pi: 2 x+4 y-3 z-7=0 é:
  • a. 2,84^{\circ}
  • b. 11,45^{\circ}
  • C. 57,53^{\circ}
  • d. 26,53^{\circ}
  • e 52,57^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta
\displaystyle r:\,X=(1,2,3)+\lambda\,(2,-1,3)
e o plano
\displaystyle \pi:\,2x+4y-3z-7=0.
O conteúdo aqui é geometria vetorial: precisamos da direção da reta e da normal do plano, e usar a relação entre o ângulo da reta com o plano e o ângulo da reta com a normal.

Passo 2

A direção da reta é o vetor
\displaystyle \mathbf v=(2,-1,3)
e a normal do plano é
\displaystyle \mathbf n=(2,4,-3).
Se \varphi é o ângulo entre \mathbf v e \mathbf n, então o ângulo \theta entre a reta e o plano satisfaz
\theta = 90^\circ - \varphi
e, como \sin\theta=\cos\varphi, temos também
\sin\theta = \frac{\bigl|\mathbf v\cdot \mathbf n\bigr|}{\|\mathbf v\|\;\|\mathbf n\|}.

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf v\cdot \mathbf n = 2\cdot2 + (-1)\cdot4 + 3\cdot(-3) = 4 - 4 - 9 = -9,
logo \bigl|\mathbf v\cdot \mathbf n\bigr|=9.
\|\mathbf v\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}, \qquad \|\mathbf n\| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{29}.

Passo 4

Aplicando
\theta = \arcsin\!\biggl(\frac{9}{\sqrt{14}\,\sqrt{29}}\biggr)
temos
\theta \approx 26,53^\circ.

Resposta

d. 26,53^\circ

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