0 ângulo entre a reta r: X=(1,2,3)+\lambda(3,1,-3), \lambda \in \mathbb{R} e a reta s: X=(2,-1,4)+\gamma(3,-4,2), \gamma \in \mathbb{R} é:

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as retas
\displaystyle r\!:X=(1,2,3)+\lambda\,(3,1,-3) e
\displaystyle s\!:X=(2,-1,4)+\gamma\,(3,-4,2).
O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar a fórmula do produto escalar para obter o cosseno do ângulo entre os vetores direção.

Passo 2

Identificamos os vetores direção das retas:
\displaystyle \vec v_r = (3,1,-3) e \displaystyle \vec v_s = (3,-4,2).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
\vec v_r \cdot \vec v_s = 3\cdot3 + 1\cdot(-4) + (-3)\cdot2 = 9 - 4 - 6 = -1.
\|\vec v_r\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{19}, \quad \|\vec v_s\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{29}.

Passo 4

A fórmula para o ângulo \varphi entre os vetores é
\cos\varphi = \frac{\vec v_r \cdot \vec v_s}{\|\vec v_r\|\;\|\vec v_s\|} = \frac{-1}{\sqrt{19}\,\sqrt{29}} = -\frac{1}{\sqrt{551}}.
Como o ângulo entre retas é tomado no intervalo [0,\pi/2], usamos o valor absoluto no numerador:
\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{551}},
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\varphi = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{1}{\sqrt{551}}\biggr).

Resposta

\displaystyle \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{551}}\bigr)

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