Seja f\) a função determinada pela seguinte formula: \[f(x)= \begin{cases}x^{2} e^{x} & \text { se } x \leq 1 \\\ \frac{\ln (x-1)}{(x-1)} & \text { se } x>1\end{cases}
Determine os extremos absolutos de (f];

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}e^{x},&x\le1,\\\ \dfrac{\ln(x-1)}{\,x-1\,},&x>1, \end{cases}
e pede os extremos absolutos em todo o domínio \R. Vamos estudar cada ramo separadamente, encontrando pontos críticos e verificando os comportamentos nas fronteiras.

Passo 2

Analisamos primeiro o ramo x\le1, em que
f(x)=x^2e^x.
Para achar os pontos críticos, derivamos:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^2e^x) =2x e^x + x^2e^x =x e^x(x+2).
As raízes de f'(x)=0 são
x=0\quad\text{e}\quad x=-2,
ambos no intervalo (-\infty,1].

Passo 3

Calculamos os valores em cada candidato e nas “bordas” do intervalo x\le1:
- Em x=-2:
f(-2)=(-2)^2e^{-2}=\frac{4}{e^2}.
- Em x=0:
f(0)=0^2e^0=0.
- No extremo direito x=1:
f(1)=1^2e^1=e.
- No extremo esquerdo, x\to -\infty:
\lim_{x\to-\infty}x^2e^x=0.
Entre estes, o menor valor atingido é f(0)=0 e o maior é f(1)=e.

Passo 4

Agora o ramo x>1: faça t=x-1>0. Define-se
g(t)=\frac{\ln t}{t},
equivalente a f(x). Derivando:
g'(t)=\frac{\frac1t\cdot t-\ln t\cdot1}{t^2} =\frac{1-\ln t}{t^2}.
A única raíz de g'(t)=0 é \ln t=1, ou seja t=e, isto é x=e+1.

Passo 5

Estudamos o comportamento de g:
- Quando t\to0^+ ( x\to1^+), \ln t/t\to-\infty.
- Quando t\to+\infty ( x\to+\infty), \ln t/t\to0^+.
No crítico t=e,
g(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac1e,
é um máximo local. Logo em x=e+1,
f(e+1)=\frac1e.

Passo 6

Reunindo todos os candidatos em todo o domínio:
f(1)=e,\; f(e+1)=\frac1e,\; f(-2)=\frac{4}{e^2},\; f(0)=0,
além de f(x)\to0^+ em x\to-\infty e f(x)\to -\infty em x\to1^+. O maior valor é e em x=1. Não há valor mínimo absoluto pois f(x)\to-\infty ao aproximar x de 1 pela direita.

Resposta

O máximo absoluto de f é
f(1)=e,
não existe mínimo absoluto.

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