(5 pontos )Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função y(x) no ponto (0,0), onde y=y(x)
(y+1)^{3}-e^{y}=\left(x^{2}+1\right) \operatorname{sen}(x)

Passo 1

A equação da curva é dada implicitamente por
(y+1)^{3}-e^{y}=(x^{2}+1)\sin(x)
e queremos a reta tangente ao gráfico de y(x) no ponto (0,0). Para isso, vamos usar diferenciação implícita para encontrar y'(x) e depois avaliar em (0,0).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\bigl[(y+1)^{3}-e^{y}\bigr] =3(y+1)^{2}\,y' \;-\; e^{y}\,y' =\bigl[3(y+1)^{2}-e^{y}\bigr]y'.
  • Lado direito (regra do produto):
\frac{d}{dx}\bigl[(x^{2}+1)\sin(x)\bigr] =2x\sin(x)+(x^{2}+1)\cos(x).
Portanto a igualdade das derivadas é
\bigl[3(y+1)^{2}-e^{y}\bigr]y' =2x\sin(x)+(x^{2}+1)\cos(x).

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(0,0):
  • No coeficiente de y':
3(0+1)^{2}-e^{0}=3\cdot1-1=2.
  • No lado direito:
2\cdot0\cdot\sin(0)+(0^{2}+1)\cos(0)=0+1\cdot1=1.
Logo
2\,y'=1 \quad\Longrightarrow\quad y'=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

A reta tangente em (0,0) tem equação
y-0=y'(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}x.

Resposta

A equação da reta tangente é
y=\tfrac{1}{2}x.

Exercícios relacionados