Seja f\) a função determinada pela seguinte formula:
\[f(x)= \begin{cases}x^{2} e^{x} & \text { se } x \leq 1 \\\ \frac{\ln (x-1)}{(x-1)} & \text { se } x>1\end{cases}
Observando o sinal de g', vemos que g sobe de 0 (em -\infty) até \tfrac{4}{e^{2}}, desce até 0 em x=0 e depois sobe até e em x=1.
Logo, o ramo g atinge todos os valores de 0 até e.
Portanto, a imagem de g é [0,e].
Passo 3
Analisando o ramo h(x)=\frac{\ln(x-1)}{x-1} com x>1. Faça t=x-1>0, então
h(t)=\frac{\ln t}{t},\quad t>0.
Derivada em função de t:h'(t) =\frac{\frac{1}{t}\cdot t-\ln t\cdot1}{t^{2}} =\frac{1-\ln t}{t^{2}}.Zera em \ln t=1, ou seja, t=e.