Seja f\) a função determinada pela seguinte formula: \[f(x)= \begin{cases}x^{2} e^{x} & \text { se } x \leq 1 \\\ \frac{\ln (x-1)}{(x-1)} & \text { se } x>1\end{cases}
Ache a imagem de (f].

Passo 1

O enunciado define a função por pedaços
f(x)= \begin{cases} x^{2}e^{x},&x\le1,\\\ \dfrac{\ln(x-1)}{\,x-1\,},&x>1, \end{cases}
e pede a imagem de f. Para isso, vamos achar o conjunto de valores que cada ramo atinge e, em seguida, tomar a união desses conjuntos.

Passo 2

Analisando o ramo g(x)=x^{2}e^{x} com x\le1:
  1. Derivada: g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{x}\bigr) =e^{x}(2x+x^{2}) =e^{x}x(x+2).
  2. Pontos críticos em x=0 e x=-2.
  3. Avaliando extremos e limites: g(1)=1^{2}e^{1}=e,
g(0)=0^{2}e^{0}=0,
g(-2)=(-2)^{2}e^{-2}=\frac{4}{e^{2}},
\lim_{x\to-\infty}x^{2}e^{x}=0.
  1. Observando o sinal de g', vemos que g sobe de 0 (em -\infty) até \tfrac{4}{e^{2}}, desce até 0 em x=0 e depois sobe até e em x=1.
    Logo, o ramo g atinge todos os valores de 0 até e.
Portanto, a imagem de g é [0,e].

Passo 3

Analisando o ramo h(x)=\frac{\ln(x-1)}{x-1} com x>1. Faça t=x-1>0, então
h(t)=\frac{\ln t}{t},\quad t>0.
  1. Derivada em função de t: h'(t) =\frac{\frac{1}{t}\cdot t-\ln t\cdot1}{t^{2}} =\frac{1-\ln t}{t^{2}}.Zera em \ln t=1, ou seja, t=e.
  2. Limites: \lim_{t\to0^+}\frac{\ln t}{t}=-\infty,\qquad \lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t}=0.
  3. Em t=e, h(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e}.
  4. Pelo sinal de h', h cresce de -\infty até 1/e e depois decresce até 0 (quando t\to\infty).
Logo, a imagem de h é (-\infty,\;1/e].

Passo 4

A imagem de f é a união das imagens de g e h:
\mathrm{Im}(f) =[0,e]\;\cup\;(-\infty,1/e] =(-\infty,e].

Resposta

(-\infty,e]

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