Qual angulo
o pêndulo faz com o vertical dele (i…e, com o eixo dele) se ele deslize livremente (sem atrito) num plano inclinado com angulo
com o horizontal?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um pêndulo que está se movendo livremente em um plano inclinado sem atrito. A pergunta é: qual é o ângulo
que o pêndulo forma com a vertical do seu próprio eixo quando está nessa posição de equilíbrio? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em um plano inclinado e equilíbrio estático.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o plano inclinado com um ângulo
em relação à horizontal. O pêndulo está preso nesse plano e faz um ângulo
com a vertical. Como não há atrito, as únicas forças atuando no pêndulo são a força da gravidade e a tensão na corda do pêndulo.
Passo 3
Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes: uma paralela ao plano inclinado e outra perpendicular a ele. A componente paralela é responsável por puxar o pêndulo de volta para a posição de equilíbrio, enquanto a perpendicular é equilibrada pela força normal do plano.
Passo 4
A força da gravidade é
, onde
é a massa do pêndulo e
é a aceleração da gravidade. A componente paralela ao plano inclinado é
e a componente perpendicular é
.
Passo 5
No equilíbrio, a tensão na corda do pêndulo equilibra a componente perpendicular da gravidade e a força que puxa o pêndulo para baixo ao longo do plano inclinado. Então, temos que a tensão
na corda satisfaz:
e
Passo 6
Dividindo as duas equações para eliminar
, temos:
Simplificando:
Passo 7
Isso significa que:
Portanto, o ângulo que o pêndulo faz com a vertical é igual ao ângulo do plano inclinado.
Resposta
O ângulo
que o pêndulo faz com a vertical é igual ao ângulo do plano inclinado
.