Qual angulo theta o pêndulo faz com o vertical dele (i…e, com o eixo dele) se ele deslize livremente (sem atrito) num plano inclinado com angulo varphi com o horizontal?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um pêndulo que está se movendo livremente em um plano inclinado sem atrito. A pergunta é: qual é o ângulo theta que o pêndulo forma com a vertical do seu próprio eixo quando está nessa posição de equilíbrio? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de forças em um plano inclinado e equilíbrio estático.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o plano inclinado com um ângulo varphi em relação à horizontal. O pêndulo está preso nesse plano e faz um ângulo theta com a vertical. Como não há atrito, as únicas forças atuando no pêndulo são a força da gravidade e a tensão na corda do pêndulo.

Passo 3

Vamos decompor a força da gravidade em duas componentes: uma paralela ao plano inclinado e outra perpendicular a ele. A componente paralela é responsável por puxar o pêndulo de volta para a posição de equilíbrio, enquanto a perpendicular é equilibrada pela força normal do plano.

Passo 4

A força da gravidade é mg, onde m é a massa do pêndulo e g é a aceleração da gravidade. A componente paralela ao plano inclinado é mg sin(varphi) e a componente perpendicular é mg cos(varphi).

Passo 5

No equilíbrio, a tensão na corda do pêndulo equilibra a componente perpendicular da gravidade e a força que puxa o pêndulo para baixo ao longo do plano inclinado. Então, temos que a tensão T na corda satisfaz:
T cos(theta) = mg cos(varphi)
e
T sin(theta) = mg sin(varphi)

Passo 6

Dividindo as duas equações para eliminar T, temos:
T sin(theta)T cos(theta) = mg sin(varphi)mg cos(varphi)
Simplificando:
tan(theta) = tan(varphi)

Passo 7

Isso significa que:
theta = varphi
Portanto, o ângulo que o pêndulo faz com a vertical é igual ao ângulo do plano inclinado.

Resposta

O ângulo theta que o pêndulo faz com a vertical é igual ao ângulo do plano inclinado varphi.
theta = varphi

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