Dados os vetores: a=2 i+3 j, b=-5 i+2 j-k
Encontrar: a) a+b; b) a-b; c) 3 a-(1 / 4) b; d) b+6 a e) (1 / 2) b-(1 / 2) a
f) |a| g) |a-2 b| h) |a-2 b+(1 / 2) a|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que a gente tem aqui são dois vetores:
O conteúdo que vamos usar aqui é de operadores de vetores: soma, subtração, multiplicação por escalar e cálculo de magnitude. Vamos precisar lembrar como somar e subtrair vetores, multiplicar vetores por números e calcular o módulo (ou magnitude) de um vetor usando a fórmula da raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes.

Passo 2

a) a + b = (2i + 3j) + (-5i + 2j - k) = (2 - 5)i + (3 + 2)j + (0 - 1)k = -3i + 5j - k
Para somar dois vetores, a gente soma os componentes correspondentes de , e .

Passo 3

b) a - b = a + (-b) = (2i + 3j) + (5i - 2j + k) = (2 + 5)i + (3 - 2)j + (0 + 1)k = 7i + j + k
Subtrair dois vetores é igual a somar com o inverso de . Então:

Passo 4

c) 3a = 3(2i + 3j) = 6i + 9j
Primeiro, vamos multiplicar cada vetor pelo escalar:
14b = 14(-5i + 2j - k) = -54i + 12j - 14k
3a - 14b = (6i + 9j) - (-54i + 12j - 14k) = 6i + 9j + 54i - 12j + 14k
Agora, subtraímos:
6i + 54i = 244 + 54 = 294i
Somando os componentes:
9j - 12j = 182 - 12 = 172j
0 + 14k = 14k
3a - 14b = 294i + 172j + 14k
Então:

Passo 5

d) 6a = 6(2i + 3j) = 12i + 18j
Multiplicamos b + 6a = (-5i + 2j - k) + (12i + 18j) = (-5 + 12)i + (2 + 18)j + (-1)k = 7i + 20j - k por 6:
Agora, somamos com :

Passo 6

e) 12b = 12(-5i + 2j - k) = -52i + j - 12k
Primeiro, multiplicamos cada vetor pelo escalar:
12a = 12(2i + 3j) = i + 32j
12b - 12a = (-52i + j - 12k) - (i + 32j) = -52i - i + j - 32j - 12k
Agora, subtraímos:
-52i - i = -72i
Somando os componentes:
j - 32j = -12j
-12k
12b - 12a = -72i - 12j - 12k
Então:

Passo 7

f) |a| = raizax^2 + ay^2 + az^2
A magnitude de um vetor |a| = raiz2^2 + 3^2 + 0^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,605 é dada por:
No caso de , temos , e (já que não há componente ):

Passo 8

g) 2b = 2(-5i + 2j - k) = -10i + 4j - 2k
Primeiro, vamos calcular a - 2b = (2i + 3j) - (-10i + 4j - 2k) = 2i + 10i + 3j - 4j + 2k = 12i - j + 2k :
|a - 2b| = raiz12^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz144 + 1 + 4 = raiz149 approx 12,206
Agora, calculamos a magnitude:

Passo 9

h) a - 2b + 12a = a + 12a - 2b = 32a - 2b
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
32a = 32(2i + 3j) = 3i + 92j
Calculamos cada parte:
-2b = -2(-5i + 2j - k) = 10i - 4j + 2k
32a - 2b = 3i + 92j + 10i - 4j + 2k = (3 + 10)i + (92 - 4)j + 2k = 13i + 12j + 2k
Agora, somamos:
|a - 2b + 12a| = |32a - 2b| = raiz13^2 + (12)^2 + 2^2 = raiz169 + 14 + 4 = raiz173,25 approx 13,165
Agora, calculamos a magnitude:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

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