Força sobre uma espira de corrente em um campo magnético não uniforme. Sabemos que a força resultante sobre uma espira de corrente em um campo magnético uniforme é nula. Porém, o que ocorre quando o vetor campo magnético B não é uniforme? Inicialmente vamos considerar uma espira quadrada que está contida no plano x y. A espira possui vértices nos pontos (0,0),(0,2 L),(L, 0),(L, 2 L) e conduz uma corrente I no sentido horário. O campo magnético não possui componente x, mas possui componentes em ambas as direções y e z: B=2 B0 ZL jmath+3 B0 yL k, em que B0 é uma constante positiva. Faça o desenho da espira com os dados acima listadas e ilustre as linhas do campo magnético no plano y z; (1 ponto);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está olhando para uma espira quadrada que tem corrente elétrica passando no sentido horário, situada no plano B = 2B0 ZL jmath + 3 B0 yL k . Os vértices da espira são , , e . O campo magnético nesse problema não é uniforme e está dado por:
Aqui, é uma constante positiva. Nosso objetivo é descobrir a força resultante que atua sobre essa espira devido a esse campo magnético não uniforme. Para isso, vamos precisar entender como calcular a força sobre um elemento de corrente em um campo magnético variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética sobre um segmento de corrente é dada pela expressão:
dF = I , dl times B
Onde:
  • é a corrente,
  • é um elemento de comprimento da espira,
  • é o campo magnético no ponto onde o elemento está.
Como o campo não é uniforme, precisamos calcular essa força para cada lado da espira e depois somar todas as contribuições.

Passo 3

Vamos analisar cada um dos quatro lados da espira separadamente:
  1. Lado de B = 2B0 zL jmath + 3 B0 yL k a B = 3 B0 yL k :
    • Aqui, dF = I , dy , jmath times 3 B0 yL k = I cdot 3 B0 yL , (jmath times k) , dy = I cdot 3 B0 yL , imath , dy e F1 = I cdot 3 B0L imath integral0^2L y , dy = I cdot 3 B0L imath [ y^22 ]0^2L = I cdot 3 B0L imath ( (2L)^22 ) = 6 I B0 L imath varia de 0 a .
    • .
    • O campo magnético nesse lado é:
    • Mas como estamos no plano , , então:
    • Calculando :
    • Integrando de 0 a :

Passo 4

  1. Lado de B = 2B0 zL jmath + 3 B0 yL k = 3 B0 cdot 2LL k = 6 B0 k a dF = I , dx , imath times 6 B0 k = I cdot 6 B0 , (imath times k) , dx = -6 I B0 jmath , dx :
    • Aqui, F2 = -6 I B0 jmath integral0^L dx = -6 I B0 jmath cdot L = -6 I B0 L jmath e varia de 0 a .
    • .
    • O campo magnético nesse lado:
    • Calculando :
    • Integrando de 0 a :

Passo 5

  1. Lado de B = 2B0 zL jmath + 3 B0 yL k = 3 B0 yL k a dF = I cdot (-dy) jmath times 3 B0 yL k = -I cdot 3 B0 yL (jmath times k) dy = -I cdot 3 B0 yL imath dy :
    • Aqui, F3 = -I cdot 3 B0L imath integral2L^0 y , dy = I cdot 3 B0L imath ( y^22 )0^2L = 6 I B0 L imath e varia de a 0.
    • (porque y está diminuindo).
    • O campo magnético:
    • Calculando :
    • Integrando de a 0:

Passo 6

  1. Lado de B = 2B0 zL jmath + 3 B0 yL k = 0 (pois y=0 e z=0) a :
    • Aqui, e varia de a 0.
    • (porque x está diminuindo).
    • O campo magnético:
    • Portanto, , já que .

Passo 7

Agora, vamos somar todas as forças:
Ftotal = F1 + F2 + F3 + F4 = 6 I B0 L imath - 6 I B0 L jmath + 6 I B0 L imath + 0 = (12 I B0 L) imath - 6 I B0 L jmath

Resposta

A força resultante sobre a espira é:
Ftotal = 12 I B0 L , imath - 6 I B0 L , jmath

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